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1.若直線3x-4y=15與兩直線x=0、x=4分別交於A、B兩點，則線段AB的長度為？
2.三角形PQR中，P點座標(2,3)，Q、R兩點在3x-4y-24=0上，且線段QR=8，則三角形PQR面積為何？
1.
慢解
x = 0 代入 y = -15/4
x = 4 代入 y = -3/4
√[4² + (-3/4 +15/4)²] = √(4² + 3²) = 5
速解
3x-4y=15 這條線的特性是 x 右移 4，y 會上移 3 ，線上就會移√(4²+3²) = 5
(4-0) * 5/4 = 5

2.
慢解
和3x-4y-24=0 垂直的線，可令其直線方程式為 4x+3y=k
P(2,3) 在線上，即 k = 4*2+3*3 = 17
4x+3y=17 和 3x-4y-24=0 的交點為垂足座標
解聯立可得 x = 140/25 = 28/5 , y = -9/5
高 = P(2,3) 到 (28/5, -9/5) 的距離
= √[(18/5)²+(24/5)²] = (6/5)√(3²+4²) = 6

速解
| 3*2 - 4*3 -24 | /√(3²+4²) = 30/5 = 6

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2. 的速解公式，可以不用向量証 ... (其實不難啦)
ax+by+c = 0
ax+by+d = 0
的垂直(最短)距離
兩線上面，y 相同的兩個點距離 = |c-d|/a = Y
兩線上面，x 相同的兩個點距離 = |c-d|/b = X
兩線的垂直距離 = X*Y/√(X²+Y²)
= |c-d|/a * |c-d|/b / √[(|c-d|/a)²+(|c-d|/b)²]
= (|c-d|²/|c-d|) * [1/(ab)] / √[(1/a)²+(1/b)²]
= |c-d| / √{(a²b²)[(1/a)²+(1/b)²]}
= |c-d| / √(a² +b²)

下面補充「點到線」的，直接利用兩平行線間距的公式就可以得到了
如果是點 (p, q) 到直線 ax+by+c = 0 的垂直(最短)距離
那就先找過 (p, q) 的線方程式 ax+by+d = 0
-d = ap+bq
然後再代入上面導出的公式
垂直距離 = |c-d| / √(a²+b²)
= |ap+bq+c| / √(a²+b²)

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1. 找出 AB 的直線方程式
2. 算出交點 P 的 x or y (一個即可)
3. 算出 AB : PB

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另解：
A(-7,1) 代入 3x-y+m=0 ，求出m
B(2,8) 代入 3x-y+n=0，求出n
利用 m , n, 5 的關係求出 AB : PB

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AB : PB

不是 AP : PB

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已知A(-1,7)、B(2,8)，若線段AB交直線L:3x-y+5=0於p點，則線段AP：線段PB之比為何？

我發現我題目有打錯.. ...
40447497 發表於 2016-9-28 19:55

嗯，答案應該是對