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中線定理是這樣的
中線 x 長，兩邊 a , b，底 2c → (一半是 c)
中線和底的夾角為 θ 和 180-θ
cosθ = - cos(180-θ)
想法是這樣的
因為中線，底兩邊一樣長，2xc cosθ 和 2xc cos(180-θ) 是大小一樣，正負相反
所以 x² + c² - a² + x² + c² - b² = 0 就這樣
知道有這東西就行了

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t(2,1) + (k-t)(4,-1/2)
= (2t+4k-4t , t+t/2-k/2)
= (4k-2t, 3t/2-k/2)
題目是說當 k 是某個值的時候，t 去變化，和圓會相交
所以要把相辦法把 t 用 x, y 的關係式化掉
所以 3x + 4y = 12k-2k = 10k 這條線
PS : 這條線居然剛好和原點到圓心(3,4)的線垂直!!
因為這樣，所以 8# 的解法才剛好是答案唷

3x + 4y - 10k = 0 和 (x-3)² + (y-4)² = 1 有相交
即和 (3, 4) 的最短距離 ≤ 1

|3*3 + 4*4 - 10k| / 5 ≤ 1
|25 - 10k| ≤ 5
-5 ≤ 10k - 25 ≤ 5
2 ≤ k ≤ 3

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來看一下
你講到一個重點
OP = t(u-v) + kv
當 k 固定某值， t 變動時，u-v 是線的方向向量
然後相切的時候，會是 k 最小(或最大)的時候
這些都對，但有個問題
u-v 和 OP 可不一定垂直唷!! k 最小 的時候不一定 |OP| 最小唷
這題是剛好垂直，即 O, P, 圓心 三點共線
u - v = (2-4, 1-(-1/2)) = (-2, 3/2)
O到圓心C是(3,4)，內積起來是-6+6 = 0
u-v 和 OC 題目給的，這可不一定正好會垂直的唷
這題它們剛好垂直，所以 k 最小和 OP 最小是同一個情況。

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不知道那樣算是矇到還是必然的

畢竟我也沒辦法去證明為什麼那樣解k為最小 ...
23585407 發表於 2016-12-23 15:31

這個不是必然的 ^^
u-v 是題目給的 (2, -3/2)
圓心也是題目給的 (3. 4)
這兩個垂直是題目的巧合
不垂直也可以，頂多答案不是整數

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OP = (4k-2t, 3t/2-k/2)
x = 4k - 2t
y = 3t/2-k/2
當 k = 某個固定值時，你看的出這是一條直線嗎 ?
這只是將參數式轉成直線方程式 y = f(x)

你也可以將 x , y 轉成 t，然後解題
x = 4k - 2t , y = 3t/2-k/2 代入
(x-3)² + (y-4)² = 1
(4k - 2t - 3)² + (3t/2 - k/2 - 4)² = 1
4t² + 16k² + 9 - 16kt + 12t - 24k + 9t²/4 + k²/4 + 16 - 12t + 4k - 3kt/2 = 1
(25/4)t² - (35k/2)t + (65k²/4 - 20k +24) = 0
因為有交點，所以能解出 t (實數解)，即 判別式 b² -4ac ≥ 0
(35k/2)² - 25(65k²/4 - 20k +24) ≥ 0
(35² - 25*65)k²/4 + 25*20k - 25*24 ≥ 0
(49-65)k²/4 + 20k - 24 ≥ 0
-k² + 5k - 6 ≥ 0
k² - 5k + 6 ≤ 0
(k-2)(k-3) ≤ 0
2≤k≤3

只是這樣解很麻煩

參數式是有意義的
比方自由落體(拋物線)

x = kt  ← 水平等速 k 向右
y = v0t + (1/2)(-g)t² (自由落體向上為正, v0 和 g 為常數)

如果你要畫這物體的軌跡圖
y = (v0/k)x - [g/(2k²)] x²
這就是參數式轉線方程式 (只是這條線不是直線)

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我還發現樓主提了一個問題
「那個圓的怎麼確定他有過圓心」
我說衝浪呀
你打字能不能用明確的文字描述呀
你問問題常常描述的很簡陋
「第二題怎麼確認AC有過xx的圓心」← 這樣描述行嗎 ?
xx = 大圓，小圓，兩個圓，我也不知道你要問哪個 ?
大圓的話，因為大圓半徑3，直徑就是 6 ，ac = 6，所以 ac 是直徑
小圓的話，c 是兩圓切點，而 ac 是大圓直徑，所以 ac 也會經過小圓圓心

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你們要把數學或物理學好
第一件事就是要龜毛一點
所有的描述，定義，都要弄清楚，一直保持清楚
沒弄清楚就會亂，怎麼學的好呢 ? 這是個習慣，一定要養成