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這樣寫可能比較好

bn = 8[1-(-1)^n]/(n*pi)  for n = 1 to ∞
n = 2, 4, 6, ... 時
bn = 0
n = 1, 3, 5 ,... 時
bn = 16/(n*pi)
f(x) = Σ(n = 1 to ∞) 8(1-(-1)^n)sin(nx) / (n pi)
= Σ(n = 1, 3, 5 to ∞) 8*2sin(nx) / (n pi) + Σ(n = 2, 4, 6 to ∞) 8*0sin(nx) / (n pi)
= Σ(k = 1 to ∞) 8*(1-(-1)^(2k-1))sin((2k-1)x) / [(2k-1)pi] + Σ(k = 1 to ∞) 8*(1-(-1)^(2k))sin((2k)x) / [(2k)pi]
= Σ(k = 1 to ∞) 16sin((2k-1)x) / [(2k-1)pi] + 0
然後啞變元，把 k 再換回 n
f(x) = Σ(n = 1 to ∞) 16sin((2n-1)x) / [(2n-1)pi]

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3#
是的sin(奇函數)怎麼疊加都還是奇函數，而且還會破壞偶函數的對稱性。cos(偶函數)亦是如此。
所以某個奇函數去解傅立葉，基底不會有cos(偶函數)。偶函數亦是如此。
還有就是 sin 和 cos 不管怎麼疊，長時間下來的的平均值都會是 0
∫0到∞ [asin(pt)^m + bcos(qt)^n ] dt / t = 0
所以如果函數有非零的平均值，a0 就有值 ( sin cos 疊不出這個，只能靠 a0 )

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如果解出來 An = 0
那就 u(x,y) = 0 了
你可以檢查一下 A1 是不是還未知? 只是 A2以後 = 0
然後 u(x,0) = sin(pi x) 代入， A1 可得 1/ sinh(x²)

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如果這題u(x,0)的條件改成u(x,0)=sin(2πx),0≦x≦1
那答案會是n=2的時候 對嗎?
很有可能，但不保證

cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2
sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2
你可以將 C e^x + D e^(-x) 改成 C' cosh(x) + D' sinh(x) 去解
會不會比較好解，不確定

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取n=1的原因是因為sinπx和sinnπx在n不等於1的時候會正交 沒錯吧
我才想說如果改成sin2πx的話應該是取n=2 ...
22169751 發表於 2020-7-1 03:21

理由是醬沒錯
每個正交基底去比較係數可得