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你是學生，討論數學題目，沒事的啦

他只是在抵制營利行為，討論題目不會有事，更何況你還是學生。

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f(x)/x < 0
f(x)x < 0，要得到 x>2，只有一個區域解
f(x)x 一定是發生了 x=0 的重根，然後剩的那項可以推出 x>2
f(x) = kx(2-x) 且 k>0

g(x) = 0 有 2-i 的根，那就一定有 2+i
g(x) = p(x²-4x+5)，而 p 就不一定正負了

(1)開口向下吧
(2)不一定，都有可能
(3)g(1) = 2p，g(2) = p，g(1) = 2g(2)，對的
(4)唉，p 不一定正負，所以不一定是 0,2 之間或兩側
(5)-1 在 0,2 之外， √5也在 0,2 之外
所以 h(-1) 和 h(√5) 是正負相同，相乘 > 0，對的

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差不多這個意思
思考的順度不太一樣
解答是 x>2，乘進來的是 x ，不是它，表示 f(x) 有 (x-2) 這項
f(x) 是兩次的，所以剩的那根不是虛根
xf(x) 出來兩個了 0 , 2，但答案沒有 0
所以剩的那個是 x，然後變成 x² 恆 >= 0
xf(x) = x²(x-2) > 0 ，x²就可以消失了

PS :若題目是 xf(x)>=0， x²(x-2)>=0
那 x² 會留下 x=0 這個點唷

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定義域值域和交點是沒有關係的

比方，f(x) = x ，定義域為(-∞,∞), 值域為(-∞,∞) ，連續
g(x) = x+1，定義域為(-∞,∞), 值域為(-∞,∞) ，連續
那他們有相交嗎 ?

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其實說沒有關係也不是很恰當
應該說，如果定義域沒有交集，或值域沒有交集
那就不可能有交點
比方，f(x) = sinx，g(x) = 5
值域沒有交集，就不可能有交點
但有交集也未必有交點

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不是這樣子的
如果你認為平行是例外，不平行的例子一樣可以舉給你
比方 y=x ，定義域為(-∞,∞), 值域為(-∞,∞) ，連續
y = x² + 1，定義域為(-∞,∞) ，連續
他們有交點嗎 ? 沒有呀
紙上你怎麼畫都會有交點，因為你把 y 的 ∞ 設定成有限(必須在紙上)了
這等於是強迫了你畫的線的y是有極限的
無限的概念不是這樣的

這題怎麼解
你要加入一個想法，x^5 發散的速度比f(x) 快，f(x)才四次
這樣才行
用列式的寫法的話
lim(x->∞)( x^5 - f(x) ) > 0
lim(x->-∞)( x^5 - f(x) ) < 0
而且兩個都是連續的函數
所以 x^5 - f(x) = 0 必存在有實數解， for -∞ < x < ∞

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先回到正題
f(x) 和 g(x) 有沒有交點這件事
你要知道，如果你找出
當 x = a 時，f(x) > g(x)
當 x = b 時，f(x) < g(x)
且 f(x)，g(x) 都是連續的函數
你可以說 x 在 (a,b) 之間，存在 f(x) = g(x) 的解
但是，如果是
當 x = a 時，f(x) > g(x)
當 x = b 時，f(x) > g(x)
且 f(x)，g(x) 都是連續的
你不能說， x 在 (a,b) 之間，沒有 f(x) = g(x) 的解
也許在 (a,b) 之間，f(x) 曾經低於 g(x)，之後又高過 g(x) 也不一定。
所以，這個方式只能証明存在有解(交點)，並不能証明不存在交點。

你提到了頂點，這個想法接近了。
但頂點不是對的，頂點不是最接近的地方。
你可以提兩個，一個是判別式，b²-4ac < 0，一個是完全平方法。
其實判別式的來源是公式解，公式解的來源是完全平方法。
它們是同一個東西。

g(x)-f(x) = x² + 1 - x = x² - x + 1

來討論 g(x)-f(x) = 0 的解
  b²-4ac = 1 - 4 = -3 < 0，無解
  所以不會有 g(x)-f(x) = 0 的時候
  或者 g(x)-f(x) = x² - x + 1 = (x - 1/2)² + 3/4 > 0
  一樣
這件事要這樣看，而不是用頂點看
不然，f(x)=x, g(x)=x²+0.1
g(x) 頂點 (0, 0.1) 雖然高過 (0, 0)
但其實是有交點的

最後你寫的對，g(x)=x²+1 恆在 f(x)=x 之上，f(x)和g(x)沒有交點
你只差在不該用頂點去討論。

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嚴格說起來是正偶數個根(包含0)
不是正偶數個交點(包含0)
重根的情況，算兩個根但只有一個交點

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是的
你可以自己想一想，我覺得你想的通的
你有交越的想法(紙上畫線那個)
x 軸是河，起點和終點在河的兩岸
那路線至少和河交到一次
比方起點在河的下方，終點在河的上方
那路線，上，交到一次
上下上，交到三次
上下上下上，交到五次
這些是奇數
那有沒有偶數，有
上的時候，河過到一半又往回走(下)了，然後上
這樣子交到 x 軸二次，但其實是三個根
河過到一半又往回走(下)，這個點是二重根
你再想一想，這個其實沒多難