40033444

1.a₁=3
a₂=10=a₁+4(n-1)+3
a₃=21=a₂+4(n-1)+3
a₄=36=a₃+4(n-1)+3
a₅=55=a₄+4(n-1)+3
推測an=n(2n+1)
當n=1時→an=3.成立
令n=k時成立, 即ak=k(2k+1)=2k²+k →(1)
則n=k+1時,
ak₊₁=ak+4k+3 →(2)
(1)代入(2)得ak₊₁=2k²+k+4k-1
=2k²+5k+3
=(k+1)(2(k+1)+1).成立
故an=n(2n+1)

40033444

2.

a₁=1
a₂+a₃+a₄=1+2+1=2²
a₅+a₆+a₇+a₈+a₉=1+2+3+2+1=3²
           10
故S₁₀₀=∑n²=(10x11x21)/6=385
          n=1

        14      4
S₂₀₀=∑n²  +  ∑n
        n=1    n=1

=(14x15x29)/6 + 10
=1015+10
=1025