[【學科】] 【數學】review-指考篇

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已知n為正整數, 當2ⁿ為9開頭的數字時, n最少為OO

我當時填了63
但答案給的是53

solution:

因為要9開頭
所以log開出來一定是xx.9542~xx.9999

n=1 log(2ⁿ)=0.301
n=2 log(2ⁿ)=0.602
n=3 log(2ⁿ)=0.903
...
n=10 log(2ⁿ)=3.010

然後我觀察小數點後的數字
發現小數點後1位數字要卡在9
然後我在漸漸加上小數點後1位是0的數字
因此n要一直+10
n的個位數字只能是3

n=13 log(2ⁿ)=3.913
n=23 log(2ⁿ)=6.923
n=33 log(2ⁿ)=9.933
n=43 log(2ⁿ)=12.943
n=53 log(2ⁿ)=15.953
n=63 log(2ⁿ)=18.963 (xx.9542~xx.9999)

但答案給的n=53 沒有在xx.9542以上
這裡出了什麼問題

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不然我還有想出另一種方法
大概要花5~10分鐘
因為 2^3 = 8
再用(2^10t)=(1,024)^t去看
t=1 => 2^10=1,024 比 1,000 多 2.4 % → (1)
t=2 => 2^20=1,048,576 比 1,000,000 多 4.85...% → (2)
t=3 => 2^30=(1)(2)=1,073,741,824 比 1,000,000,000 多7.37...% → (3)

所以可以看成 把8進位成9
要比10^3t多12.5% (t=1,2,3,...)
也就是要1125開頭 才會進位成9
要多12.5% t可以抓在5~6之間
t=5 => 2^50 = (2)(3) = 1,125,899,906,842,624 剛好是1125開頭

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有了@@ 遇到這種8.9邊緣的 抓0.30103

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2項式有比較快
加到最後一關(24的5次)都沒有小於0的話
再考慮63
然後不用一個一個算
感恩^^