【分享】要如何證明一次因式檢驗法 ! 在這邊告訴你

本帖最後由 42445888 於 2015-7-28 19:44 編輯

一次因式檢驗法： $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......+a_{1}x+a_{0}$ 是一個整係數n次多項式，若ax-b是f(x)的一次因式，且a是正整數，b是整數，a和b互質，則
a是首項係數

的因數b是常數項

的因數

證明：
因為ax-b是f(x)的因式，所由因式定理知 $f(\\\\frac{b}{a})=0$ ，即
地.gif

等號兩邊同乘

得到
$a_{n}b^{n}+a_{n-1}ab^{n-1}+......+a_{1}a^{n-1}b+a_{0}a^{n}=0$

注意到：這個等式中指有最高次項 $a_{n}b^{n}$ 不是a的倍數外，其餘的數都是，將這些a的倍數的移項到右邊，並提出公因式a，得到
$a_{n}b^{n}=a(-a_{n-1}b^{n-1}-......-a_{1}a^{n-2}b-a_{0}a^{n-1})$

將a移到左邊來，並將又式的負號提出來，得到

是一個整數，即 gif (1).gif

經過約分後，分母a一定可以全部被約掉，又因為a和b互質，所已a和

互質，所以，a是

的因數

同理可證，b是的因數　！