【數學】複數的三角不等式證明(已解決)

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證明
|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|

其中z1, z2 皆為複數


請問我應該怎麼下手
以下開放討論

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首先畫圖不代表證明
就實數而言是這樣沒錯
但是應該怎麼去討論

我一剛開始的想法是兩邊同時平方
但是做到一半就卡住了!!

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1# 46733194

在複數平面上,令A(z1) , B(z2) , O(0)
=> AB=|z1-z2| , OA=|z1| , OB=|z2|

利用三角形任意兩邊的和大於第三邊
=> AB ≤ OA + OB
=> |z1-z2| ≤ |z1| + |z2|

同理可證
=>|z1+z2| = |z1-(-z2)| ≤ |z ...
34952281 發表於 2014-10-15 16:36

要是那麼簡單就好了!

46733194

可以用科西不等式證明
我查了柯西不等式的定義域
是定義在複數之下的

這時又產生了一個問題
必須先證明過柯西不等式
才能拿進來用

我還是得強調一點
畫圖不代表證明
圖可以輔助思考邏輯
但是不能只畫圖就能證明了

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畫圖為什麼不能代表証明呢 ?
這不是實數而已唷，這畫的是複數平面呀

不然這樣証好了
令 z1 = a+bi , z2 = c+di
|z1|² = a²+b² , |z2|² = c²+d²
|z1+z2|² = (a+c)²+(b+d)² = a²+2ac+c² + b²+2bd+d²
= ...
39475494 發表於 2014-10-17 05:33

已下附上跟同學討論出的結論



其中 bar(a+bi)=a-bi  ,   Re(a+bi)=a
|z1+z2|^2=(z1+z2)(bar(z1+z2))=(z1+z2)(bar(z1)+bar(z2))
=z1*bar(z1)+z2*bar(z2)+z1*bar(z2)+z2*bar(z1)
=|z1|^2+|z2|^2+2Re(z1*bar(z2))

then
2Re(z1*bar(z2))≦2|z1*bar(z2)|≦2|z1|*|bar(z2)|

|z1+z2|^2≦|z1|^2+|z2|^2+2Re(z1*bar(z2))≦|z1|^2+|z2|^2+2|z1|*|bar(z2)|=(|z1|+|z2|)^2

|z1+z2|^2≦(|z1|+|z2|)^2

|z1+z2|≦|z1|+|z2|

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對了 ，有一個小地方，想一想還是說一下
2|z1*bar(z2)|≦2|z1|*|bar(z2)|
其實是2|z1*bar(z2)|=2|z1|*|bar(z2)| 比較好
|z1*z2| = |z1|*|z2|
因為z1 = |z1|(cosΘ1 + isinΘ1), z2 = |z2|(cosΘ2 + isinΘ2)
z1*z2 = ...
39475494 發表於 2014-10-18 17:59

最後這個部分
是為了想跟同學不太相同
所以改的

基本上是可以接受的吧!