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挑個簡單題9.題目要求 1/a^2+1/b^2 = (a^2+b^2)/(a^2*b^2) = [(a+b)^2-2*a*b]/(a^2*b^2)


展開聯立方程
a^2*b^2+a^2+b^2+2*a*b=40     _1
(a+b)^2+a^2*b^2=40     _1
a*b+a+b=8      _2
a*b=8-(a+b)       _2
_2 代入 _1
(a+b)^2+[8-(a+b)]^2=40
(a+b)^2+64-16*(a+b)+(a+b)^2=40
(a+b)^2-8*(a+b)+12=0     


令a+b=x
x^2-8*x+12=0
x=a+b=2 or 6
(a+b , ab)=(2,6) or (6,2)


代回所求得
-2/9 or 8
因為所求恆為正
所以解為 8

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把第十題用通式及直覺來解題

首先考慮 n的大小
第一種情形 n<8
原式 = 2^n*[2^(8-n)+2^(11-n)+1]
第二種情形 n≧8
原式 = 2^8*[1+2^3+2^(n-8)]

然而依答案格式，推出答案為兩位數，符合第二種情形


原式 = 2^8*[1+2^3+2^(n-8)]
2^8 = (2^4)^2 為平方數，即僅考慮 [1+2^3+2^(n-8)] 為何數之平方
[1+2^3+2^(n-8)] = [9+2^(n-8)] = [3^2+2^(n-8)]
未算先猜，滿足直角三角形三邊長 (3, 4, 5)
3^2+2^(n-8) = 5^2
2^(n-8) = 4^2 = 2^4
n = 12 為所求