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雙曲線那題是4/√17嗎?

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第7題，這樣圖片看得清楚嗎 0.0，懶得打式子

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2018-2-7 20:46

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8
log2(A) < 0
A < 1
log2(B) < 1
B < 2
|x-[(x+1)/2]| < 2
-2 < x-[(x+1)/2] <2
取高斯以後會是整數，2 也是整數
整數 < x - 整數 < 整數
所以觀察 x 的整數情況就行了
1 - 1
2 - 1
3 - 2
3.99 - 2 → ok → 得到 x < 4
4 - 2  不小於 2 了
5 - 3
6 - 3
往負的看
0  - 0
-1 - 0
-2 - (-1)
-2.99 - (-1) → ok → 得到 x > -3
-3 - (-1) 不大於-2
-4 - (-2)
-5 - (-2)
-6 - (-3)
兩個不等式同時要成立 (交集)
所以 -3 < x < 4

這題要考"小於等於"才會有陷阱

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不知道你們會不會覺得用列數字的方式解答不太好
如果覺得不好，請用圖形去想
y = x ← 一條斜直線
y = [(x+1)/2] ← 一個階梯狀的圖
然後畫出 y = 相減的圖 ← 斜上去，楷梯角的地方往下掉 1 ，再斜上去…
然後看 -2 < y < 2 時的 x

對了，如果要用 < ，那 2 改成一個奇數，也會有陷阱出來

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a+b = 8，1/a + 1/b = 2
a+b = 8，(a+b)/ab = 2
ab = 4
斜率 = (1/b-1/a)/(b-a)
= -1/(ab) = -1/4
y = 1/x
y' = - 1/x² = -1/4
x = ±2 (第一象限負不合)
x = 2
C(2, 1/2)
斜率 -1/4 → x + 4y = k
|2 + 4*(1/2) - 4 - 4*1|/√(1+16)
= 4/√17
我的答案跟你一樣

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如果不用微分的話
xy = 1 和  x + 4y = k 交於一點(相切)
x + 4/x = k
x² -kx + 4 = 0 只能一個交點(重根)
k² - 4*1*4 = 0
k = ±4，過第一象限，y = 0 時 x = k 是正的才行
k = 4
|k - 4 - 4*1|/√(1+16)
= 4/√17

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剩兩題了
3,4
4 的話，這圖是等腰梯形，應該不難解
3 比較有趣
這是一題圖形題
令 y1 = mx - 3m + 2，y2 = mx - 3m + 10
y1 和 y2 的關係是平行線
然後不同的 m，斜率會不同 (斜率即 m)
但不管 m = 多少， y1這條必過 (3, 2)，y2這條必過(3, 10)
然後，題目的等式就變成
(x, y1) 到原點的距離 + (x, y2) 到原點的距離 = 10
這個等式，是橢圓形
重新整理一下思路
在某個 m 時，自變數 x ，會對應出應變數 y1 和 y2
然後 (x, y1)到原點的距離 + (x, y2) 到原點的距離 = 10
符合此情況的 x 有兩個(相異實根)
把橢圓的概念套入
(x, y1)到原點的距離 + (x, y2) 到原點的距離 = 10
等同，原點在以 (x, y1) (x, y2)為焦點，2a = 10 的橢圓上
我們再看這個橢圓
y1 y2 的動線為平行線，且一個過(3, 2)，一個過 (3, 10)
這表示，當 x = 任意值時
y2-y1 = (mx-3m+10) - (mx-3m+2) = 8
2c = 8，c = 4
又 2a = 10，a = 5
b = √(a²-c²) = 3
這個橢圓形其實有固定的外形，差只差在它(中心點)的座標會移
而中心點座標 ( x, (y1+y2)/2 )，即 (x, mx-3m+6)
或者想成，中心點的動線是一個經過 (3, 6) 鈄率為 m 的線

接著，再去思考 x 的解為相異實根這件事
想像一下，x 從 -∞ → ∞
隨著 x 變化，這個是固定外形的橢圓形，其中心點隨之移動
當橢圓形的圓周碰到原點，此時的 x 就產生了一個根
繼續移，又碰到原點，就又產生一個根
一個橢圓形，以斜率 m 的直線移動，碰到原點最多兩個。
相異實根，就是碰了兩次的情況。

移橢圓麻煩，不如移原點吧
中心點的動線是一個經過 (3, 6) 鈄率為 m 的線
那就把橢圓(中心點)放在 (3, 6)，然後原點走鈄率 m 劃過去
看有幾個交點，就是幾個相異實根
原點走鈄率 m 劃過去，這條就是 y = mx
這時，題目就變成
有一個橢圓，a=5，b=3，c=4，長軸平行 y 軸，中心點為(3,6)
y = mx 與該橢圓的交點為兩相異點，求 m 之範圍 ?
然後，這題就是算切線鈄率。

寫了一堆，多數是想法上的轉換，其實只是將題目轉成另外一種樣子來算
我算的結果是 m > 11/36

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哇 真的假的

冰大跟版大可以去中大附中(以前叫中壢高中)教書了~
這張是中大附中 甄選老師的題目

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2018-2-28 20:33

我貼一下答案~ 我在慢慢研究 向二位高手請教~

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我第八題錯了呀
哦，我前面推算錯了
log2(A) < 0
0 < A < 1
0 < log2(B) < 1
1 < B < 2
1 < |x-[(x+1)/2]| < 2
1 < x-[(x+1)/2] < 2 or -2 < |x-[(x+1)/2]| < -1

取高斯以後會是整數，2,1,-2,-1 也都是整數
整數 < x - 整數 < 整數
所以觀察 x 的整數情況就行了
1 - 1 = 0 (N)
2 - 1 = 1 (N)
2.01 - 1 = 1.01 (Y) → 得到 x > 2
3 - 2 = 1 (N) → 得到 x ≠ 3
3.01 - 2 = 1.01 (Y)
3.99 - 2 = 1.99 (Y) → 得到 x < 4
5 - 3 = 2 (N)
6 - 3 = 3 (N)
所以 1 < ... < 2 這邊來看
得到 2<x<4 且 x≠3

往負的看
0  - 0 = 0 (N)
-1 - 0 = -1 (N)
-2 - (-1) = -1 (N)
-2.01 - (-1) = -1.01 (Y) → 得到 x < -2
-3 - (-1) = -2 (N) → 得到 x ≠ -3
-3.99 - (-2) = -1.99 (Y) → 得到 x > -4
-4 - (-2) = -2 (N)
-5 - (-2) = -3 (N)
-6 - (-3) = -4 (N)
所以 -2 < ... < -1 這邊來看
得到 -4<x<-2 且 x≠-3

兩個不等式同時要成立 (交集)
所以 2 < x < 4 or -4 < x < -2 但 x ≠ ±2

如果覺得這樣寫很麻煩
那就畫圖
畫一條L1 : y = x (斜直線)
畫一條L2 : y = [(x+1)/2]取高斯 (階梯狀)
然後畫用這兩條線畫出L3 : y = x - [(x+1)/2] (即 L1 - L2)
L2 階梯平的地方，L3就是斜直線
L2 階梯高起來的地方，L3就從下掉 1
然後用 L3 去判 1<y<2 和 -2<y<-1
畫圖會快一些，答案一樣的