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33144653發表於 2018-1-9 13:49 | 只看該作者

[【學科】] 【數學】資優數學問題

本帖最後由 33144653 於 2018-1-29 02:24 編輯

最近版上頗冷清
po幾題資優問題

大家一起腦力激盪~

1 評分人數

很多優良題目 威望 + 20 金錢 + 20

42445888

版主

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2^#

42445888發表於 2018-1-9 20:40 | 只看該作者

本帖最後由 42445888 於 2018-1-9 21:16 編輯

回復 1# 33144653

$(1)~~~a_{n}=\frac{1}{(2^{n}-1)^{2}}$

這題求過程..列不出來

真正的才智是剛毅的志向。。。

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版主

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3^#

42445888發表於 2018-1-9 21:14 | 只看該作者

(2)

註：(x)為高斯符號，因為中括號顯示不出來

$4x^{2}-20(x)+23=0$
$20(x)=4x^{2}+23$
$(x)=\frac{4x^{2}+23}{20}$

$x-1<(x) \leq x$
$x-1<\frac{4x^{2}+23}{20} \leq x$
$\frac{5-\sqrt{2}}{2}  \leq  x  \leq \frac{5+\sqrt{2}}{2}$

若 $\frac{5-\sqrt{2}}{2}  \leq x <2$
此時 $(x)=1$
則代回原式 $4x^{2}-20+23=0$
x無解

若 $2  \leq x <3$
此時 $(x)=2$
則代回原式 $4x^{2}-40+23=0$
$x=+-\frac{\sqrt{17}}{2}$ (負不合)

若 $3  \leq x \leq \frac{5+\sqrt{2}}{2}$
此時 $(x)=3$
則代回原式 $4x^{2}-60+23=0$
$x=+-\frac{\sqrt{37}}{2}$ (負不合)

故 $x=\frac{\sqrt{17}}{2}~~or~~\frac{\sqrt{37}}{2}$

真正的才智是剛毅的志向。。。

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淘米Lv2會員

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4^#

22169751發表於 2018-1-9 22:09 | 只看該作者

最近版上頗冷清
po幾題資優問題

大家一起腦力激盪~

其實我覺得會認真看的就固定那幾個

星之城
EE

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淘米Lv2會員

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5^#

33144653發表於 2018-1-11 08:14 | 只看該作者

好像太難了
因為這張是教師甄試的問題
簡單說是考老師的~

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實習生

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6^#

39475494發表於 2018-2-6 17:22 | 只看該作者

我解個 10 好了
|w|=1, |z|=10
A = (w-z)/z = w/z -1
θ = arg(A)
tan²θ 最大值

令 w/z = a+1+bi
(a+1)²+b² = |w/z|² = (1/10)²
A = a+bi
tan²θ = (b/a)²

唉，還是用圖說明的比較好懂
(a+1)²+b² = (1/10)²
這是一個圓，圓心是 (-1,0)，半徑 1/10
然後θ管角度，tan²θ 要最大，愈直立 | 愈好
最大就是原點畫切線過去那條
直角三角形 1/10 : 1 -> 1 : 10 : √99
tan²θ max = 1/99

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實習生

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7^#

39475494發表於 2018-2-6 17:52 | 只看該作者

本帖最後由 39475494 於 2018-2-7 10:57 編輯

1. 沒有過程呀
那我也試試好了
√a_n = 2√a_n+1 + √a_n √a_n+1
這√其實沒有問題的，你可以這樣
令 bn = √an
b_n = 2b_n+1 + b_n * b_n+1，然後兩邊再同除以 b_n * b_n+1
1/b_n+1 = 2/b_n + 1
呃~ 快出來了
啊~ 這樣說好了令 c_n = 1/b_n
c_n+1 = 2 * c_n + 1 ，而首項 c1 = 1/b1 = 1/√a1=1
所以這個 c 數列是 1, 3, 7, 15, 31，即 c_n = 2^n - 1 (有點筆誤)
然後就是還原
b_n = 1 / (2^n-1)
a_n = [1 / (2^n-1)]²

其實你找出答案了，湊過程不是那麼難的
至於 c_n+1 = 2 * c_n + 1 為什麼可以看出 2^n - 1
每個下一項(大約)是這一項 * 2 的關係
這是 2^n 的變化

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實習生

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8^#

39475494發表於 2018-2-6 18:41 | 只看該作者

其實我覺得會認真看的就固定那幾個
22169751 發表於 2018-1-9 22:09

是呀

其實也無可厚非

對很多人而言，數學只是一個學習項目

淘米也只是一個遊戲項目

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版主

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9^#

42445888發表於 2018-2-6 20:03 | 只看該作者

本帖最後由 42445888 於 2018-2-6 20:04 編輯

(6)
令 $x={  10}^{100  }$

$\frac { { 10 }^{ 10000 } }{ { 10 }^{ 100 }+1 } =\frac { { x }^{ 100 } }{ x+1 } =\frac { { (-x) }^{ 100 }-{ 1 }^{ 100 } }{ x+1 } +\frac { 1 }{ x+1 }$

因為 ${ (-x) }^{ 100 }-{ 1 }^{ 100 }=(-x-1)({ (-x) }^{ 99 }+{ (-x)}^{98  }+...+1)$

所以 $\frac { { 10 }^{ 10000 } }{ { 10 }^{ 100 }+1 } ={ x}^{99  }-{x  }^{  98}+{ x }^{  97}-...+x-1+\frac { 1 }{ x+1 }$

故 $( \frac { { 10 }^{ 10000 } }{ { 10 }^{ 100 }+1 }) ={ x }^{ 99 }-{ x }^{ 98 }+{ x }^{ 97 }-...+x-1$ ，(這裡的括號是高斯符號)

因為 ${ x }^{ 99 }-{ x }^{ 98 }+{ x }^{ 97 }-...+x$ 末尾至少100個0，減1之後全變9，除以100的餘數就是99

真正的才智是剛毅的志向。。。

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實習生

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10^#

39475494發表於 2018-2-7 16:18 | 只看該作者

那我再解個 9 好了
九個不同物品，放三個相同箱子，可以箱是空的

好像沒有什麼好方法耶，還出九個那麼多個

9 個
900  C99 = 1
810  C98*C11 = 9
720  C97*C22 = 36
711  C97*C21*C11/2! =36
630  C96*C33 = 84
621  C96*C32*C11 = 84*3
540  C95*C44 = 126
531  C95*C43*C11 = 126*4
522  C95*C42*C22/2! = 126*3
441  C94*C54*C11/2! = 126*5/2
432  C94*C53*C22 = 126*10
333  C93*C63*C33/3! = 84*20/6 = 280
全加起來 = 280 + 126*41/2 + 84*4 + 36*2 + 10
= 2583 + 336 + 72 + 290
= 3281

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