[【學科】] 【數學】一題極限已解決

本帖最後由 21620596 於 2018-2-25 16:09 編輯

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如圖麻煩各位了
想了很久不知道怎麼解

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42445888發表於 2018-2-25 21:11 | 只看該作者

本帖最後由 42445888 於 2018-2-25 21:13 編輯

回復 1# 21620596

${ a }_{ n-1 }=1+2+3+...+n=\frac { n(n+1) }{ 2 }$
不難發現， ${ a }_{ n-2}$ 為常數項兩兩相乘的和
故 ${ a }_{ n-2 }=\underline { 1 } +\underline { 2\times 1 } +\underline { 3\times (1+2) } +\underline { 4\times (1+2+3) }  +...+\underline { n\times (1+2+3+...+(n-1)) }$
${ a }_{ n-2 }=(\sum _{ k=1 }^{ n }{ (n\times \frac { n(n-1) }{ 2 } ) } )+1$
${ a }_{ n-2 }=\frac { 1 }{ 2 } (\sum _{ k=1 }^{ n }{ ({ n }^{ 3 }-n^{ 2 } } ))+1$
${ a }_{ n-2 }=\frac { 1 }{ 2 } ({ (\frac { n(n+1) }{ 2 } ) }^{ 2 }-\frac { n(n+1)(2n+1) }{6  } )+1$
${ a }_{ n-2 }=\frac { 1 }{ 8 } { n }^{4  }+\frac { 1 }{12  }  { n }^{3  }-\frac { 1 }{  8}  { n }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 12 }n+1$
原題為
$\lim _{ n\rightarrow \infty  } \frac { { a }_{ n-2 } }{ 3{ n }^{ 2 }\cdot { a }_{ n-1 } } { = }\lim _{ n\rightarrow \infty  } \frac { \frac { 1 }{ 8 } { n }^{ 4 }+\frac { 1 }{ 12 } { n }^{ 3 }-\frac { 1 }{ 8 } { n }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 12 } n+1 }{ 3{ n }^{ 2 }\cdot \frac { n(n+1) }{ 2 }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  } \frac { \frac { 1 }{ 8 } { n }^{ 4 }+\frac { 1 }{ 12 } { n }^{ 3 }-\frac { 1 }{ 8 } { n }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 12 } n+1 }{ \frac { 3 }{ 2 } { n }^{ 4 }+\frac { 3 }{ 2 } { n }^{ 3 } }$
$=\frac { 1 }{ 12 }$

除了這樣硬爆還有甚麼好方法嗎....

真正的才智是剛毅的志向。。。

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實習生

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39475494發表於 2018-2-26 10:02 | 只看該作者

我看到到這題，想的解法也是這樣
不過我可能 a_n-2 過程不會這樣寫
我會這樣想
這題是分子和分母比最高次誰大，一樣大的話就計算最高次的係數
(1+2+3+...+n)² = (1²+2²+...+n²)
+ 2[1*2+1*3+...+1*n + 2*3+2*4+...+2*n + ... +(n-1)n]
= (1²+2²+...+n²) + 2 * a_n-2
(1+2+3+...+n)² -> (n²)² -> 最高次 2*2 = 4
(1²+2²+...+n²) -> (n²)*n -> 最高次 3
a_n-2 的最高次是從 (1+2+3+...+n)² 來的
[n(n-1)/2]² 的最高次係數 1/4
所以 2 (a_n的最高次係數) = 1/4
a_n的最高次係數 = 1/8
其它就一樣了
對了，你好像多了 1

功夫派~ 冰語

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