[【學科】] 【數學】樣本空間

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從1，2，3，…，n；n個數字中取數字，下列選項何者正確？

(A)每次取二數，則樣本空間有(P n取2)個元素
(B)每次取一數，取後不放回，取二次，則樣本空間有(C n取2)個元素
(C)每次取一數，取後放回，取二次，則樣本空間有(C n取2)個元素
(D)每次取一數，取後不放回，取二次，第二次的數字比第一次的數字大，則樣本空間有(C n取2)個元素
(E)每次取一數，取後不放回，取二次，第二次的數字比第一次的數字小，則樣本空間有(P n取2)個元素

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我認為(A)應為(C n取2)，(B)應為(P n取2)，(C)應為n^2；所以把它們都刪掉了，問題在於(D)(E)

我覺得(D)是對的，因為取後不放回，所取出的兩數不同，大小也一定不同，由於題目要求「第二次的數字比第一次的數字大」，所以排列只有一種，因此樣本空間有(C n取2)個元素

至於(E)，我的想法是先從n個數字中取出兩個不同的數，取法共(C n取2)種，由於兩數不同，大小一定也不同。題目要求「第二次的數字比第一次的數字大」，所以排列應該只有一種，因此這個選項是錯的

這樣的想法有錯嗎? 我不知道正確答案...

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你的想法是對的

不過，(D) 你的這個想法，難度有點高
C 是不分前後(當成同一種)
這點和"分前後，無相等情況，然後後>前"是一樣
這個情境轉換不直覺
你要確認 Cn取2 和這個情境是1個對應1個，沒多沒少，完全相符的

這裡額外提供兩個想法

一個是先取一個再取一個，分前後，所以 Pn取2
但其中一半是先取較大，一半是後取較大，要除以2
所以變成 Pn取2 / 2
這個計算過程和這題情境比較直接符合

另一種就類似用數的
先取 1 ，之後可以 2~n，有 n-1 種
先取 2 ，之後可以 3~n，有 n-2 種
先取 3 ，之後可以 4~n，有 n-3 種
…
先取 n-1 ，之後可以 n，有 1 種
一共 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = (1+n-1)(n-1)/2