【高三】不等式第二回，等你來挑戰！

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請自行先解題，若解不出答案，點這裡找詳解！

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[2^x+2^(-x)]/2 ≧ √[2^x * 2^(-x)] = 1
∴[2^x+2^(-x)] ≧ 2
當2^x = 2^(-x) 時，有最小值 2 ，此時2^x = 2^(-x) → x=0

下面式中，(2^x)² = 2^(2x) = (2²)^x = 4^x
同理，[2^(-x)]² = 4^(-x)
[2^x + 2^(-x)]²
= (2^x)² + 2[2^x * 2^(-x)] + [2^(-x)]²
= 4^x + 4^(-x) + 2

(1)
令 a = 2^x + 2^(-x)
上述可知，當 x=0 時，a有最小值 2
f(x) = 4^x + 4^(-x) - 2^x + 2^(-x)
= [2^x + 2^(-x)]² - 2 - 2^x + 2^(-x)
= a² - a - 2
= (a-1/2)²-1/4-2
↑這圖形是杯口朝上，中間軸 a=1/2，最下面一點是(1/2,-9/4)
又 a≧2 (1/2不在範圍內)
所以 f(x)最小值是發生在邊界 a=2 的時候 (此時 x=0)
f(x)最小值 = 2² - 2 - 2 = 0

(2)
不等式f(x)≦0 的解
已知 f(x)≦0
又由(1)可知，f(x)最小值為 0
故 f(x) = 0
此時， 2^x + 2^(-x) = 2

又2^x + 2^(-x) ≧ 2
最小值 2 發生在 2^x = 2^(-x)
∴ x = 0
PS：上面都有寫過 ~

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[2^x+2^(-x)]/2 ≧ √[2^x * 2^(-x)] = 1
∴[2^x+2^(-x)] ≧ 2
當2^x = 2^(-x) 時，有最小值 2 ，此時2^x = 2^(-x) → x=0

下面式中，(2^x)² = 2^(2x) = (2²)^x = 4^x
同理，[2^(-x)]² = 4^(-x)
[2^x + 2^(-x)] ...
39475494 發表於 2011-10-17 05:34

不愧是冰語老師，完全正解！

冰語老師，我好想學三國的劉備，到您府上給您三顧茅廬... ^_^

26867711

如果係數複雜一點的話    我也是像#2一樣的作法
但這一題數字給的太爽了    可以直接做圖看出答案
因為f(x)=f(-x)    所以圖形對稱y軸    可以只討論x軸正向
f(x)=[4^x + 4^(-x)] - [2^x + 2^(-x)]
     =[4^x - 2^x] - [ 2^(-x)-4^(-x)]
看起來前項的變化率遠大於後項
所以x越大   f(x)越大    推測x=0時    f(x)有極小值0

x趨近0時    圖形看不出來    那推推看
f(x)=[4^x + 4^(-x)] - [2^x + 2^(-x)]
     =[4^x - 2^x] - [ 2^(-x)-4^(-x)]
     ={[2^(3x)]-1}[ 2^(-x)-4^(-x)]

所以x>0時    f(x)>0  
因此x=0時    f(x)有極小值0

另外
我一直覺得第二問不該問
第二問比較簡單    但第一問不會就會跟著錯
一罪二罰    吾未見其明也
題目應該獨立一點

43289176

如果係數複雜一點的話    我也是像#2一樣的作法
但這一題數字給的太爽了    可以直接做圖看出答案
因為f(x)=f(-x)    所以圖形對稱y軸    可以只討論x軸正向
f(x)=[4^x + 4^(-x)] - [2^x + 2^(-x)]
     =[4^x - 2^x ...
26867711 發表於 2011-10-17 16:48

敢問兄台可是素還真？

我在想，如果我今天改出國中的題目，您與冰語應該都會覺得太簡單，可是高中的題目對其他的同學又太難，
不太好拿捏...

兄台是學生否？

高中乎？大學乎？

29241576

(1)
設2^x + 2^(-x)=t (t大於等於2 by 算幾不等式)
=> 4^x + 4^(-x)=t^2-2
=> f(x)=(t^2-2)-t
           =t^2-t-2
           =(t-1/2)^2-9/4
又t大於等於2
故當t=2(即算幾不等式等號成立=> x=0)時
f(x)有min=0

(2)
f(x)≧0
=> 所求即"="成立
x=0

28009517

這個我們還沒教哪~(段考就是這裡不會才被減6分的還說不會?

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(1)
設2^x + 2^(-x)=t (t大於等於2 by 算幾不等式)
=> 4^x + 4^(-x)=t^2-2
=> f(x)=(t^2-2)-t
           =t^2-t-2
           =(t-1/2)^2-9/4
又t大於等於2
故當t=2(即算幾不等式等號成立=> x=0)時
f(x)有min=0

(2 ...
29241576 發表於 2011-10-22 15:12

嗶啵~ (答對的聲音)
嗶啵~
恭喜您！

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這個我們還沒教哪~(段考就是這裡不會才被減6分的還說不會?
28009517 發表於 2011-10-22 15:53

雪代下次把六分補回來喔，加油！

36810275

哇塞!!高三!!
((驚訝中