[【學科】] 【數學】資優數學問題請益

33144653

下載 (15.01 KB)

2018-3-1 09:34

下載 (115.12 KB)

2018-3-1 09:35

圖是這樣?

令 w/z = a+1+bi
(a+1)²+b² = |w/z|² = (1/10)²
A = a+bi
tan²θ = (b/a)²

(a+1)²+b² = (1/10)²
這是一個圓，圓心是 (-1,0)，半徑 1/10
然後θ管角度，tan²θ 要最大，愈直立 | 愈好
最大就是原點畫切線過去那條
直角三角形 1/10 : 1 -> 1 : 10 : √99
tan²θ max = 1/99

紅字的地方不懂 請冰大解惑   3Q

39475494

圖不是這樣子的
畫圖第一步，你先想好橫軸是什麼，縱軸是什麼 ?
第二步，原點在哪 ? 代表的是什麼
第三步，θ在哪 ?
先把圖畫對了，再去管紅字
這題的討論串不見了 ?

33144653

討論串 置頂了~~在上面

33144653

下載 (45.11 KB)

2018-3-1 16:08

若是這個方程式 (a+1)²+b² = (1/10)²
我第一個圖應該沒畫錯吧@@

22169751

提供一點想法
以(-1,0)為圓心且半徑為1/10的圓
參數式:
a=-1+ Cosθ/10
b=Sinθ/10
令b/a=(Sinθ/10)/(-1+ Cosθ/10)=k
⇒k²(1-Cosθ/5+Cosθ²/100)=Sin²θ/100=(1-Cos²θ)/100
⇒(k²+1)Cos²θ/100 - k²Cosθ/5  +k²  -1/100=0
⇒(k²+1)Cos²θ  -20k²Cosθ  +100k²-1=0


-1≦Cosθ≦1
圖形開口向上
須滿足判別式≧0且Cosθ=1代入≧0且Cosθ=-1代入≧0
Cosθ=1代入=81k²恆正
Cosθ=-1代入=119k²恆正
判別式=

令k²=a
⇒100a²≧100a²+99a-1
⇒1≧99a⇒1/99≧a⇒1/99≧k²

39475494

4#
你的 θ 還是標錯了
題目給的 θ = arg(w/z - 1)
即  w/z - 1 的 虛部/實部 = tanθ
w/z - 1 = a+1+bi - 1 = a+bi
所以 b/a = tanθ

(a+1)²+b² = |w/z|² = (1/10)²
這是一個圓，所以 (a, b) 就是圓周上的任意一點
但題目問的是 tan²θ 最大的時候，這時的 (a, b) 即是切點
切點有兩個，結果都一樣 (tan²θ)一樣
你再想想 tanθ = b/a ，這裡的θ要畫在哪 ?

39475494

提供一點想法
以(-1,0)為圓心且半徑為1/10的圓
參數式:
a=-1+ Cosθ/10
b=Sinθ/10
令b/a=(Sinθ/10)/(-1+  ...
22169751 發表於 2018-3-1 17:49

這題是個很漂亮的圖形題
用一些三角函數的概念，然後畫一下圖答案就直接出來了
不用寫一些列式的

39475494

樓主
4# 的圖，有比原本的多了一點對，就是 10 和 √99 這個比例對應的線段
如果你把長度畫的更好，圓半徑 0.1 其實很小，10 和 √99 這個幾乎等長
你會發現，你第一個圖 1/10 和 √99/10 其實應該是對調的
tan²θ = 1/99 ? 所以你的 θ 位置錯了
我常建議我親戚的小孩，畫三角的時候，不用畫太準
但感覺要對，這個角很尖 ? 還是大於 45 ? 或是鈍角 ? 最好要畫對
畫對了，相當於多了一層驗算

不過我還是建議你從
tanθ = b/a
(a,b) 為圓周上的點
然後 tan²θ 最大時，(a, b)為切點
然後 θ 要畫在哪 ?

22169751

這題是個很漂亮的圖形題
用一些三角函數的概念，然後畫一下圖答案就直接出來了
不用寫一些列式的 ...
39475494 發表於 2018-3-1 19:08

多一種想法也不錯

33144653

下載 (66.79 KB)

2018-3-1 20:28