本帖最後由 39475494 於 2011-10-12 07:14 編輯
傲夢：
直角三角形有
3：4：5
5：12：13
7：24：25
8：15：17
9：40：41
21723034 發表於 2011-10-11 12:44 
這是個有趣的東西唷~ (我國中時想過~)
a² + b² = c² 且 a, b, c 為(最大公因數=1的)正整數 (我想找3, 4, 5，不想找6, 8, 10)
然後 a < b < c (不想找到 3, 4, 5 後又找到一個 4, 3, 5)
怎麼找 a, b, c ?
a² + b² = c²
a² = c² - b² = (c + b) * (c - b)
設 m = (c + b) , n = (c - b)
a² = m * n
m * n 要某個數的平方
那從質因數分解的角度來想....
m 和 n 的質因數，要成對的質因數...這樣子√(mn) 才能得到正整數 a
比方說m = 3*3*5 , n = 5
m*n = 3*3*5*5 = a² , 這樣 a = 3*5 才能得到符合正整數的 a
但這樣子的話，b=(m-n)/2，c=(m+n)/2，若 m和n 有5這個因數，b和c 也就會有5這個因數...
這就違反了a, b, c最大公因數是1
所以...
m 和 n 除了2以外, 不能有其他大於1的公因數!!
(2例外的原因是，計算 b 和 c 時會除以2，b 或 c 未必會有 2 的因數)
也就是說，在找 m 和 n 時，(2除外的某個質因數)²要放在 m 或 n，而不能在 m 和 n 各放一個...
先討論一下 m 和 n 有 2 這個公因數的情況 (也就是說 m 和 n 是偶數)
在討論這之前，先要討論一下 a, b, c 的偶數情況
a, b, c 最大公因數是1
所以若b, c 是偶數，a² = c² - b² = 2² * [(c/2)²-(b/2)²] , a 亦為偶數 , (c/2)²-(b/2)²為整數
這時a, b, c 均為偶數，不符合最大公因數是1...
所以b, c 不能找均為偶數的 (找的話會找出像6, 8, 10 或 10, 24, 26 這種非最簡化的結果)
現在，假設m 和 n 均為偶數
n = c - b 又是偶數，所以b, c 要不就是都偶數，要不就是都奇數
而上面說過，b, c 不能均為偶數....所以就全都奇數
這樣的話，m/2 和 n/2 就要一奇數，一偶數才行
那也就是說 m * n 其中一邊可以放一個2，另一邊要放3個以上的2才行
此時，a² = 2*2*2*2*某整數²，故a必為4的倍數
上面的總結一下...
設 m = (c + b) , n = (c - b)
反算時 b = (m-n)/2 , c = (m+n)/2
a² = m * n, m * n 要某個數的平方
m 和 n 的質因數，要找成對的質因數...
在找m和n時，(2除外的某個質因數)²要放在m 或 n，而不能在 m 和 n 各放一個...
例外情況的 2，如果在 m 或 n其中一邊放2，另一邊則要放至少3個2，並且此時 a 必為4的倍數
只找 c 不要超過100太多的
還有m要很大，n要很小，這樣才會 b > a
先玩有2的(a為4的倍數) (排這個要有規律，n從最小開始放，a 逐漸放大)
a值太小的話，n固定，a愈小，m就愈小，b就更小，a>b 不行
下面計算，都會先從a太小，使得 a>b 不行開始
(a=4開始，每次+4)(n=2)
(a²的基本組合(2*4)*(2)，所以a為4的倍數)
a = 4
m = (2*4)*1
n = (2)
a = 4 , b = 3 , a > b , m 和 n 的大小差不夠
a = 8
m = (2*4)*4
n = (2)
a = 8 , b = 15 , c = 17
a = 12
m = (2*4)*9
n = (2)
a = 12 , b = 35 , c = 37
a = 16
m = (2*4)*16
n = (2)
a = 16 , b = 63 , c = 65
a = 20
m = (2*4)*25
n = (2)
a = 20 , b = 99 , c = 101
(a=12開始，每次+8)(n=2*4=8)
(a²的基本組合(2)*(2*4)，所以a為4的倍數)
(m/2要奇數，所以一次+8，不能+4)
a = 12
m = (2)*9
n = (2*4)
a = 12 , b = 5 , a > b , m 和 n 的大小差不夠
a = 20
m = (2)*25
n = (2*4)
a = 20 , b = 21 , c = 29
a = 28
m = (2)*49
n = (2*4)
a = 28 , b = 45 , c = 53
a = 36
m = (2)*81
n = (2*4)
a = 36 , b = 77 , c = 85
a = 44
m = (2)*121
n = (2*4)
a = 44 , b = 117 , c = 125
(a=36開始，每次+12)(n=2*9=18)
(a²的基本組合(2*4)*(2*9)，所以a為12的倍數)
a = 36
m = (2*4)*9
n = (2*9)
a = 36 , b = 27 , a > b , m 和 n 的大小差不夠
a = 48
m = (2*4)*16
n = (2*9)
a = 48 , b = 55 , c = 73
a = 60
m = (2*4)*25
n = (2*9)
a = 60 , b = 91 , c = 109
(a=72開始，每次+12)(n=2*4*4=32)
(a²的基本組合(2)*(2*4*4)，所以a為8的倍數)
(m/2要奇數，所以一次+16，不能+8)
a = 72
m = (2)*81
n = (2*4*4)
a = 72 , b = 65 , a > b , m 和 n 的大小差不夠
a = 88
m = (2)*121
n = (2*4*4)
a = 88 , b = 105 , c = 137
再玩沒有2的(a為奇數的) (不能有2，n可以1)
一樣，平方先列一下 9, 25, 49, 121
(a=1開始，每次+2)(n=1)
(a²的基本組合(1)*(1)，所以a為1的倍數)
(m要奇數，所以一次+2，不能+1)
a = 1
m = (1)*1
n = (1)
a = 1 , b = 0 , a > b , m 和 n 的大小差不夠
a = 3
m = (1)*9
n = (1)
a = 3 , b = 4 , c = 5
a = 5
m = (1)*25
n = (1)
a = 5 , b = 12 , c = 13
a = 7
m = (1)*49
n = (1)
a = 7 , b = 24 , c = 25
a = 9
m = (1)*81
n = (1)
a = 9 , b = 40 , c = 41
a = 11
m = (1)*121
n = (1)
a = 11 , b = 60 , c = 61
a = 13
m = (1)*169
n = (1)
a = 13 , b = 84 , c = 85
a = 15
m = (1)*225
n = (1)
a = 15 , b = 112 , c = 113
(a=21開始，每次+6)(n=9)
(a²的基本組合(1)*(9)，所以a為3的倍數)
(m要奇數，所以一次+6，不能+3)
a = 21
m = (1)*49
n = (9)
a = 21 , b = 20 , a > b , m 和 n 的大小差不夠
a = 27
m = (1)*81 (和n不互質)
n = (9)
a = 33
m = (1)*121
n = (9)
a = 33 , b = 56 , c = 65
a = 39
m = (1)*169
n = (9)
a = 39 , b = 80 , c = 89
a = 45
m = (1)*225 (和n不互質)
n = (9)
a = 51
m = (1)*289
n = (9)
a = 51 , b = 140 , c = 149 (數字太大了)
(a=55開始，每次+10)(n=25)
(a²的基本組合(1)*(25)，所以a為5的倍數)
(m要奇數，所以一次+10，不能+5)
a = 55
m = (1)*121
n = (25)
a = 55 , b = 48 , a > b , m 和 n 的大小差不夠
a = 65
m = (1)*169
n = (25)
a = 65 , b = 72 , c = 97
a = 75
m = (1)*225 (和n不互質)
n = (25)
(a=105開始，每次+14)(n=49)
(a²的基本組合(1)*(49)，所以a為7的倍數)
(m要奇數，所以一次+14，不能+7)
a = 105
m = (1)*225
n = (49)
a = 105 , b = 88 , a > b , m 和 n 的大小差不夠
而且a已經拉到105了，所以n不用再往下做了
--------------------------
整理一下....
8 , 15 , 17
12 , 35 , 37
16 , 63 , 65
20 , 99 ,101
20 , 21 , 29
28 , 45 , 53
36 , 77 , 85
44 ,117 ,125
48 , 55 , 73
60 , 91 ,109
88 ,105 ,137
3 , 4 , 5
5 , 12 , 13
7 , 24 , 25
9 , 40 , 41
11 , 60 , 61
13 , 84 , 85
15 ,112 ,113
33 , 56 , 65
39 , 80 , 89
65 , 72 , 97
--------------------------
其實 n=1 和 n=2 有很多組(而且常見到)
這時有個特色，就是...
a = 奇數 , b = (a²-1)/2 , c = (a²+1)/2 = b+1
比方說：3 4 5 , 5 12 13 , 7 24 25 , 9 40 41 這些都是
a = 偶數 , b = (a²-4)/4 , c = (a²-4)/4 = b+2
比方說：8 15 17 , 12 35 37 , 16 63 65 這些都是
寫這只是讓很有興趣的人看看吧
大部分考試只會用到
3 4 5 , 5 12 13 , 7 24 25 , 8 15 17
頂多再多個 9 40 41 , 20 21 29 |
