[【閒聊】] 【數學】二次曲線

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現在我們交到雙曲線快結束了
我想做個最後的整理

假設現在就隨便給一個二次曲線的一般式: ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0
要怎麼去判斷這是8種圖形的哪一種(附證明)?

1.一點
2.一個圓 ( b=0, a=c, -(f/a) + (d²/4a³) + (e²/4a³) > 0 )
3.一個橢圓
4.兩相同直線
5.雙曲線
6.兩相異直線
7.拋物線
8.無解

二次曲線判別式-講解
圓錐曲線-維基

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2. b=0, a=c
ax²+ay²+dx+ey=-f
(ax²+dx)+(ay²+ey)=-f
a(x²+(d/a)x) + a(y²+(e/a)y) = -f
a(x²+(d/a)x+(d/2a)²) + a(y²+(e/a)y+(e/2a)²) = -f + (d²/4a²) + (e²/4a²)
a(x+(d/2a)²) + a(y+(e/2a)²) = -f + (d²/4a²) + (e²/4a²)

比較(x-h)²+(y-k)²=r²
得a((x-h)²)+a((y-k)²)=ar²
h=-(d/2a), k=-(e/2a), r²= -(f/a) + (d²/4a³) + (e²/4a³) , r>0
-(f/a) + (d²/4a³) + (e²/4a³) > 0

目前暫定 r=0 即 -(f/a) + (d²/4a³) + (e²/4a³) = 0 為一點
r<0 即 -(f/a) + (d²/4a³) + (e²/4a³) < 0 為無解
但不排除其他可能

39475494

高中應該不致於考 xy 這種情況吧
你們的二次曲線應該會侷限在和 x y 軸 平行或垂直的題目才對。

直接拿題目(數字)來分析，應該比你這樣分類簡單很多。

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高中應該不致於考 xy 這種情況吧
你們的二次曲線應該會侷限在和 x y 軸 平行或垂直的題目才對。

直接拿題 ...
39475494 發表於 2017-6-19 19:05

是沒錯啦
拋物線 PF=d(P,L)>0
橢圓 PF1+PF2=2a>2c
雙曲線 |PF1-PF2|=2a<2c
那3個要超熟
(後面我會做個整理)

BTW,
找到我要的了
https://tw.answers.yahoo.com/que ... 080427000016KK01361

2A = (a+c) + [(a-c)*cos2θ + b*sin2θ ]
2C = (a+c) - [(a-c)*cos2θ + b*sin2θ ]
B = (c-a)*sin2θ + b*cos2θ

這邊比較難理解

轉到正的
把B = (c-a)*sin2θ + b*cos2θ 弄成0
原則上 標準式就出來了

39475494

(2x+y+1)(x+y+1) = 0
2x²+3xy+y²+3x+2y+1 = 0
3² - 4*2*1 = 1
但圖形是兩條直線
你必須還要去判別"退化"這件事。

20389229

你們台灣的數學真深⋯⋯我們只會做圓形方程（橢圓也不用考
話說我倒是想知道第八 無解 的情況會怎麼樣

39475494

無解，簡單呀
(x+y+1)² = -1 展開
x²+2xy+y²+2x+2y+1 = -1
x²+2xy+y²+2x+2y+2 = 0
這種情況無解

40033444

(2x+y+1)(x+y+1) = 0
2x²+3xy+y²+3x+2y+1 = 0
3² - 4*2*1 = 1
但圖形是兩條直線
你必須還要去判別"退化" ...
39475494 發表於 2017-6-20 10:47

阿對...
要配方
但這動作是在用判別式b²-4ac之後的事情了
   
先猜圖形是2x+y+1=0 or x+y+1=0
兩相同直線 同上
能配出(...)²=0的

40033444

你們台灣的數學真深⋯⋯我們只會做圓形方程（橢圓也不用考
話說我倒是想知道第八 無解 的情況會怎麼樣 ...
20389229 發表於 2017-6-20 13:52

課本是沒有啦
比較有空練一些課外的而已

40033444

話說
禮拜5晚上~禮拜6有點想整理出一篇關於二次曲線的重要性質
有些課本有寫
有些是自己想出來的