[【學科】] 【數學】高三數學-極限

$\lim_{n\to \infty } n^{3}(\sqrt{n^{2}+1}-n-\frac{1}{2n})$
=___

A:-1/8

求過程感恩

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實習生

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2^#

39475494發表於 2017-3-6 00:28 | 只看該作者

有點懶得打這種方程式耶
令 A = √(n²+1)
B = n + 1/(2n)
C = √[n²+1 + 1/(4n²)]

B = √(B²) = √[n + 1/(2n)]² = √(n² + 1 + 1/(4n²)) = C
n³(A-C) = n³(A-C) * (A+C)/(A+C) = n³(A²-C²) / (A+C)
= n³[-1/(4n²)] / (A+C) = (-1/4) n / (A+C)
原式 = lim n→∞ [(-1/4) n / (A+C)]
= (-1/4) lim n→∞ [n / (A+C) ] = (-1/4)[ 1 / (1+1)] = -1/8

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實習生

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3^#

39475494發表於 2017-3-6 00:32 | 只看該作者

像 B = √(B²) 這個
因為 n → ∞ 時 B > 0，所以才會相等
這就不寫了，不然 √(B²) = |B| 才對

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淘米Lv2會員

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4^#

22169751發表於 2017-3-11 13:47 | 只看該作者

本帖最後由 22169751 於 2017-3-11 21:49 編輯

再請教幾題
1.
若 $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ ， $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ 均為首項為1的收斂無窮等比級數，且 $\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n})=\frac{13}{5}$ ， $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}=\frac{3}{4}$ ，則無窮級數 $\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n})^{2}$ 之和為___

A:139/30
2.
觀察數群(1)，(1，1，2)，(1，1，1，2，2，3)，(1，1，1，1，2，2，2，3，3，4)，...照此規律，若第n群內各個數的總和為 $a_{n}$ ，求 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{a_{n}}$ =____

A:3/2
3.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1+2+2^{2}+...+2^{n}}{3^{n}}$
=___

A:7/2
4.
$a_{n}=\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k(k+1)}$ ，則 $\lim_{n\to \infty } \frac{a_{n}}{n^{2}}$ =___

A:1/2

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