【數學】高中數學(稍難)

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1.試證：  (a^5+b^5+c^5) / (a^2+b^2+c^2) >= abc

2. 已知 0<角a<兀/2
   試證：sin(角a) + tan(角a) > 2角a

3.有一橫六格，直兩格，共12格的長方形，現要將1,2,3.....12共12個數字填入格子中，且滿足"右邊格子中的數字比左邊格子大，上方格子中的數字比下方格子大"，試問這樣的填法共有幾種?

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3.32種?(隨便猜的)

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第一題、
有沒有少了一些限制啊?
如果我a,b為負數，c為0，這樣就與題目矛盾了

第三題、
我猜這題應該不可能一條式子算出來
所以就來分析題目
思考可以知道1與12一定分別在左下及右上
然後從2(也可從11)開始分析
2只可能在與1相鄰的兩個位置，因此有兩種分支
然後以此類推慢慢往下分析，應該就可以算出總共幾種方法
話說我覺得樓上猜的答案或許是正確的 XD

第二題、
看來我數學退化了哈哈，證不出來(汗顏)
我不知道要怎麼變出角度與sin、cos比
不過tan沒意外應該是會換成cos或sin的形式啦

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2.
當 lim Θ → 0 時
sinΘ + tanΘ = Θ + Θ = 2Θ
d(sinΘ + tanΘ)/d(2Θ) = (cosΘ + sec²Θ)/2 ，Θ=0 代入，原式 = 1
當 0 < Θ < pi/2 → cosΘ ≠ sec²Θ，secΘ > 1
d(sinΘ + tanΘ)/d(2Θ) = (cosΘ + sec²Θ)/2 > √(cosΘsec²Θ) = √(secΘ) > 1
所以 ...
不然這樣看好了
令 f(Θ) = sinΘ + tanΘ - 2Θ
f(0) = 0
Θ = 0 時 df/dΘ = 0
而 0 < Θ < pi/2 , df/dΘ = cosΘ + sec²Θ - 2 > 0
故 0 < Θ < pi/2 , f(Θ) > 0
sinΘ + tanΘ - 2Θ >0
sinΘ + tanΘ > 2Θ

3.
6x2空格，分成上、下兩排，每排六格
下面填數字的順序，是由小填到大，也就是 1,2, 3 ... 11, 12 依序填入(這點請記住)
下列表格，填的是排列方式數
比方(上排3，下排2)，即為
NNN???
NNNN??
(7個N 表示已經填入符合規律的1~7，五個 ? 表示尚未填入的8~12)
在這種情況下，五個 ? 的排列不同，所產生的排列方式數量

第一步： 上排空格 >= 下排空格，所以把上排空格<下排空格的邊界打Ｘ
　　　　　　　　　　　　上排空格數
　　　０　　　１　　　２　　　３　　　４　　　５　　　６
　０
下１　Ｘ
排２　　　　　Ｘ
空３　　　　　　　　　Ｘ
格４　　　　　　　　　　　　　Ｘ
數５　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｘ
　６　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｘ

第二步： 如果下排沒空格了，剩下的數字全填上排
這種情況，只有一種填法填到結束，就是上排從左往右填過去
所以下排空格為 0 的地方，全部都只剩一種排列方式
　　　　　　　　　　      上排空格數
　　　０　　　１　　　２　　　３　　　４　　　５　　　６
　０　　　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１
下１　Ｘ
排２　　　　　Ｘ
空３　　　　　　　　　Ｘ
格４　　　　　　　　　　　　　Ｘ
數５　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｘ
　６　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｘ

第三步： 每個數字的填法
令 m = 上排空格數， n = 下排空格數 ，(m,n)表示該情況的排列方式數
1. 上排空格 = 下排空格數時，只能填下排最左
也就是說，m=n時，填入前的排列數(m,n) = 填入下排後的排列數(m, n-1)
即 m = n 時，(m,n) = (m, n-1)
2. 上排空格 > 下排空格數時，可以填下排最左，也可以填上排最左
也就是說，m>n時，填入前排列數(m,n) = 填入下排後排列數(m, n-1) + 填入上排後排列數(m-1, n)
即 m > n 時，(m,n) = (m, n-1) + (m-1, n)
總歸來說，某格的數字 = 上一格的數字 + 左一格的數字 (遇到 Ｘ 當０)
　　　　　　　　　　　　上排空格數
　　　０　　　１　　　２　　　３　　　４　　　５　　　６
　０　　　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１
下１　Ｘ　　　１　　　２　　　３　　　４　　　５　　　６
排２　　　　　Ｘ　　　２　　　５　　　９　　１４　　２０
空３　　　　　　　　　Ｘ　　　５　　１４　　２８　　４８
格４　　　　　　　　　　　　　Ｘ　　１４　　４２　　９０
數５　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｘ　　４２　１３２
　６　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｘ　１３２
答案 132

舉例，拿一開始的來看
(3, 2)
NNN???
NNNN??
(7個N 表示已經填入符合規律的1~7，五個 ? 表示尚未填入的8~12)
在這種情況下，五個 ? 的排列不同，所產生的排列方式數量
對照(3, 2)那格，(3, 2) = 5
NNN8??
NNNN?? → 2 種
NNN???
NNNN8? → 3 種
一共五種，沒錯 (細節自己推一下)

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三題我完全算不出來，智力退化了

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抱歉，第一題要補上a,b,c>0

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a,b,c>0 ，故 (a+b)(a-b)²(a²+ab+b²) >= 0 , (a²+b²+c²) > 0
(a^5 + b^5)  = (a+b)(a-b)²(a²+ab+b²) + a³b² +a²b³ >= a³b² +a²b³

2(a^5 + b^5 + c^5)
= (a^5 + b^5) + (b^5 + c^5) + (c^5 + a^5)
>= a³b² +a²b³ + b³c² +b²c³ + c³a² +c²a³
=  a³b² +  a³c² + b³c² +  b³a² + c³a² +  c³b²
= a³(b² +  c²) + b³(c² +  a²) + c³(a² +  b²)
>= a³(2bc) + b³(2ca) + c³(2ab)
= 2(a²+b²+c²)(abc)
所以 (a^5 + b^5 + c^5) >= (a²+b²+c²)(abc)
又 (a²+b²+c²) > 0
(a^5 + b^5 + c^5)/(a²+b²+c²) >= (abc)

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第二題是否有不用微分的方法?

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a,b,c>0 ，故 (a+b)(a-b)²(a²+ab+b²) >= 0 , (a²+b²+c²) > 0
(a^5 + b^5)  = (a+b)(a-b)²(a²+ab+b²) + a³b² +a²b³ >= a³b² +a²b³

2(a^5 + b^5 + c^5)
= (a^5 + b^5) + (b^5 + c^5) + (c^5 + a^5)
...
39475494 發表於 2015-5-28 05:07

想請問這類題目應該如何找證明的步驟?
這不是一步就可以完成的

39475494

第二題是否有不用微分的方法?
45959595 發表於 2015-5-28 05:48

不知耶
sina tana a
徑度和三角去比大小，這是一個不太好弄的東西
但很直覺得知道他們在 a→0 的地方是相等的，連斜率也一樣
不用微分証的話，有點難想到 idea