[【學科】] 【數學】最小值

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2017-8-14 16:27

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(a,-a) (b, 1/b + 1) 的距離
所以，相當於 y=-x 和 y = 1/x + 1 的最短距離
y = 1/x + 1
y' = - 1/(x^2) = -1
x = ±1
(1, 2) 和 (-1, 0) 這兩個點，到 y = -x 距離，(-1,0) 是較近的，√2/2


PS
(-1, 0) ，對到 y=-x 最短距離的點就是(-0.5, 0.5)
所以 x = -0.5 ， y = -1，最短距 = √2/2

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∂/∂x﹝(x-y)^2 +(x+1/y+1)^2﹞
∂/∂y﹝(x-y)^2 +(x+1/y+1)^2﹞

解聯立得 (-0.5,1)及(-0.5,-1) 代入原式
(-0.5,1)代入可得3√2/2
(-0.5,-1)代入可得√2/2 ...最小值

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偏微是三維的作法。
我寫的是把三維降到二維再解。
如果這題是高中的題目，就只能降到二維。
y = -x，用參數式來看的話，可以想成 y = -s，x = s
y = 1/x + 1，用參數式來看的話，可以想成 y = 1/t +1，x=t;
然後兩個點的距離 = √[(s-t)² + (-s-1/t-1)²] = √[(s-t)² + (s+1/t+1)²]
也就是和題目問的式子是一樣的
所以這題的答案，可以等價成下面這題的答案
y=-x 和 y=1/x+1 這兩條線之間最短距離為多少
然後就可以用我二樓的解法了。

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其實用偏微比較泛用。
這題是因為可以拆出一條直線一條曲線，不然是不能降的。