[【學科】] 【數學】高職二

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試求(3x^2-1/x)^8展開式中x^4項的係數
這一題我知道是用一般項來求的
但是我不懂紅色這段 為什麼他是係數
而藍色是不定元該怎麼解釋這兩個部分?

C8取3*3^(8-r)*(-1)^r*x^16-2r*x^-r

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首先，先回答你的問題
C8取4 * 3^(8-r)*(-1)^r * x^(16-2r)*x^(-r)
題目問x^4 .... 也就是說，你要利用 x^(16-2r)*x^(-r) = x^4 來得到 r = ?
16-2r-r = 4
r = 4 ... 這是什麼 ?
這是在算，需要(8-r)個3x² 和 r 個 (1/x) 相乘，才能得到 x^4
要配出 r^4 ，需要(3x²)^4 * (1/x)^4
對吧 ?
紅色的話，就是在算 (3x²)取 4 個，(1/x)取 4 個時，係數會是多少 ?
但前面應該是 C8取r = C8取4 才對

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舉例來說
(a+b)^4 =  1a^4 +  4a³b +  6a²b² +  4ab³ + 1b^4

這個四次方，和1 4 6 4 1 有什麼關係 ?
什麼是四次方 ? 從國中學到的分配律去展開
(a+b)^4 = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
怎麼才能得到 a^4 ? 就是取到四個 a 相乘
也就是取到(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
這只有一種
再舉個例
為什麼 a²b² 的係數是 6 ?
因為這是取到
aabb , abab , abba , baab , baba , bbaa 六種
所謂的 aabb ，是指取到下面紅色的情況
(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
所謂的 abab ，是指取到下面紅色的情況
(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
其他依此類推 .....

aabb , abab , abba , baab , baba , bbaa ，一共六種
耶 .... 這是排列組合的題目
四個位子，給 兩個 a 兩個 b 去坐，有幾種坐法 ?
C4取2 給 a 坐，剩的全給 b 坐 = C4取2
所以得到一個結論

(a+b)^m 展開後  a^nb^(m-n)的係數 = Cm取n
因為這係數等同 m 個位子給 n 個 a 和 (m-n)個 b 去坐的方法量
Cm取n 給 a 坐，剩的全給 b 坐 = Cm取n

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對了，切記，不要硬背公式
C8取r * 3^(8-r)*(-1)^r * x^(16-2r)*x^(-r)
這種公式背愈多，死愈快 ....

你看一下題目
(3x^2 - 1/x)^8展開式中x^4項的係數
第一件事，就是思考，要弄出 x^4，m,n 要怎麼配 ....
3x^2^m * 1/x^n
m+n = 8
2m-n = 4
得到 m = 4, n = 4 (對應你的公式的話 m = 8-r , n = r)
再來，題目就可以等效變更成 (3a-b)^8 中 a^4b^4 的係數是多少 ?
然後就是排列組合，去計算 a^4b^4 的係數
C8取4 * 3^4 * (-1)^4

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回復 4# 39475494

(3x^2 - 1/x)^8展開式中x^4項的係數 第一件事，就是思考，要弄出 x^4，m,n 要怎麼配 .... 3x^2^m * 1/x^n m+n = 8 2m-n = 4 得到 m = 4, n = 4 (對應你的公式的話 m = 8-r , n = r)

這一段我還是看不太懂

為什麼是1/x^n，不用加負號嗎?

還有2m-n=4是怎麼來的?

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不要只看 4# 發問
2# 3# 有類似或一樣的說明，你有看懂嗎 ?

這題有兩個步驟
第一個，就是計算 x^4 是幾個(3x^2) ，幾個 (1/x) 湊出來的
上面所說的幾個，湊，就是指取了幾個(3x^2) ，幾個 (1/x)，然後乘在一起
這個觀念，請看 3# 分配律展開
從 2# 來看，就是令其 (8-r) 和 r
4# 的話，我是令其 m 和 n
這是次方的計算，和係數無關
所以 3 和 負號，不用管它
m 個 (3x^2) ，n 個 (1/x) ，全部乘起來，變成 x^4 項
(x^2)^m * x^(-1)^n = x^(2m-n)
所以 2m-n = 4 呀

知道了 x^4 項，是由 4 個(3x^2) 和 4 個 (1/x) 乘起來可得
再來才開始第二步，計算係數
3 和 -1，這裡才有用
C8取m * 3^m * (-1)^n = .....

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如果還看不懂，沒關係

先想一個 ...
(2x²+3x)³ 展開後會有哪幾項 ?
(2x²+3x)³ = a(2x²)³ + b(2x²)²(3x)¹ + c(2x²)¹(3x)² + d(3x)³
= (2³)ax^6 + (2²*3¹)bx^5 + (2¹3²)cx^4 + (3³)dx³
到這有沒有問題(1) ?

為什麼結果有 x^6 , x^5 , x^4, x^3 ，沒有 x^2 , x^7 之類的 ?
因為(x²)^m * (x)^n = x^(2m+n)
而 m , n 都是從(2x²+3x)³ → 三次方配來的 → m + n = 3
(m, n) = (3, 0) or (2, 1) or (1, 2) or (0, 3) 這幾種
所以 x^(2m+n) 有 x^6 , x^5 , x^4 , x^3 這幾項
到這有沒有問題(2) ?

再來，比方題目問你 x^4 的係數多少 ?
你要先抓出來 x^4 是哪個項變化過去的
如果對照上面寫的，是 + (2¹3²)cx^4 ，這項是 x^4
而它是從 c(2x²)¹(3x)² 變化過去的 ...
題目問的是 x 的四次方，這個對照，重點在次方，x^4 ←→ c(2x²)¹(3x)²
到這有沒有問題(3) ?

解題都要展開，很麻煩呀 ...
這時，你要思考，如何從 x^4去推出 c(2x²)¹(3x)²
重點一樣在次方，如何從 4 去推出 ¹ , ²
m+n = 3
2m+n = 4 ，解聯立得到 m = 1 , n = 2
到這有沒有問題(4) ?

到這，就知道是從 c(2x²)¹(3x)² 化成 kx^4 這項的
再來，就是計算這項的係數k是多少
c = C3取1 ← 這是排列組合，請參考 3#
係數k = c*2¹*3² = (C3取1)2¹*3² 結束
到這有沒有問題(5) ?

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如果還看不懂，沒關係

先想一個 ...
(2x²+3x)³ 展開後會有哪幾項 ?
(2x²+3x)³ = a(2x²)³ + b(2x²) ...
39475494 發表於 2016-11-3 14:22

謝謝 我懂了~~~

已經發現問題的盲點了!!!

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而 m , n 都是從(2x²+3x)³ → 三次方配來的 → m + n = 3
只有這邊看不懂~
當然我知道冰大是想表示m+n等於紅色的3

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我會這樣寫，是希望你們用「分配律」的角度看這件事
來看一下，(2x²+3x)³ 的展開
令其中 A = 2x² , B = 3x
(A+B)³ = A³B° + 3A²B¹ +3A¹B² + A°B³
這裡 (m, n) = (3, 0) or (2, 1) or (1, 2) or (0, 3)
為什麼一致 m+ n = 3 ?
因為分配律 ....
(A+B)(A+B)(A+B )
三個 ( ) 裡面，都要輪流出一個 A or B 出來和別人相乘，不會缺空
所以 m + n = 3

其實，最後會導出一個公式
三個 ( ) ， 每個 ( ) A B 輪流配，有 2³ 種組合
配出來的 A³ ，有 C3取3 = 1
配出來的 A²B ，有 C3取2 = 3
配出來的 AB² ，有 C3取1 = 3
配出來的 B³ ，有 C3取0 = 1
2³ = 1 + 3 + 3 + 1 = C3取3 + C3取2 + C3取1 + C3取0
所以 2^n = Cn取n + Cn取(n-1) + ... + Cn取2 + Cn取1 + Cn取0
= ΣCn取k (for k = 0 to n)