[【學科】] 【數學】review-機率

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一份40題的4選1的單選題, 每題2.5分
假設一考生將此份試題全數用猜的, 則
(1): 得___分的機率最高
(2): 此機率為___

(1):
令對n題機率最大
每題對的機率為(1/4), 錯的機率為(3/4)
(1/4)ⁿ(3/4)⁽⁴⁰⁻ⁿ⁾ →(1)

再來
考慮對1題, 錯39題 → 40!/1!39! = C40取1 (在這個情況有C40取1種)
對2題, 錯38題 → 40!/2!38! = C40取2 (在這個情況有C40取2種)
...
對39題 錯1題 → 40!/39!1! = C40取39 (在這個情況有C40取39種)

所以(1)要再乘以C40取n
驗算一下, ∑(C40取n)(1/4)ⁿ(3/4)⁽⁴⁰⁻ⁿ⁾ = ( (1/4) + (3/4) )⁴⁰ = 1

接著我該怎麼做
總不能一個一個慢慢算出來吧@@

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對2題的機率=對1題的機率*(39/2)*(1/3)
對3題的機率=對2題的機率*(38/3)*(1/3)
......

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我大概知道了
令an為對n題的機率
→a0=(C40取0)(3/4)^40=(3/4)^40
a40=(C40取40)(1/4)^40=(1/4)^40
(注意 a0~a40共有41項 令第1項a0 不是a1 是因為對齊上面驗算的sigma是從n=0開始 到n=40)

因為有最高點
所以圖形會從a0的值往上到最高點
再往下掉
才到a40
令第n項為最高點
既然有最高點
那n+1項和第n項的比值會小於1
a(n+1)/an < 1
(C40取n+1) ((1/4)^(n+1)) ((3/4)^(40-n-1)) / (C40取n) ((1/4)^(n)) ((3/4)^(40-n)) < 1
有C的提出來
( (C40取n+1) / (C40取n) )*(1/4)/(3/4) < 1
(1/3)( (C40取n+1) / (C40取n) ) < 1
(C40取n+1) / (C40取n) < 3

(40!/(n+1)!(40-n-1)!) / (40!/n!(40-n)! < 3
(1/n+1) / (1/40-n) < 3
(40-n) / (n+1) < 3
40-n < 3n+3
37 < 4n , 37/4 < n , n取10
每題2.5分 25分機率最大

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筆誤抱歉, 已更正