【數學】遞迴數列2

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a1=3   an+1=(3an-2)/an 求an
解:
∵an+1=(3an-2)/an  ∴令x=(3x-2)/x
→x²-3x+2=0    ∴x=1or2

an+1-1=[(3an-2)/an]-1=2(an-1/an)...①
an+1-2=[(3an-2)/an]-2=2(an-2/an)...②
①/②=(an+1-1)/(an+1-2)=2(an-1)/(an-2)
此時令bn=(an-1)/(an-2) ∴b1(a1-1)/(a1-2)=2
∴得bn+1=2bn  ∴成等比  公比=2 ∴bn=b1*2^(n-1)=2^n

還原:bn=(an-1)/(an-2)=2^n
→an-1=2^n(an-2)=2^n(an)-2^(n+1)
→2^n(an)-an=2^(n+1)-1  ∴(2^n -1)an=2^(n+1)-1
∴an=(2^(n+1)-1)/(2^n -1) 對於所有nξN
紅色部分是我看不懂的地方 有人能幫忙解釋嗎  感恩

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所以遞迴式看不出能不能化成可以直接消的模式...都只能用試的?
像我上次問的那題
http://bbs.61.com.tw/viewthread.php?tid=431212&extra=page%3D1
可以化成相消的
但你這題我看到時可能也會用一樣的方式去找有沒有剛好可以相消的方式
感覺這有點看運氣..?
畢竟數學考試都是再跟時間賽跑=口=
40440553 發表於 2015-3-4 11:04

這些是"必然可化成"
所以不會是看運氣，而是看你對這種類型的熟練度
什麼樣的遞迴關係式，去化成什麼樣的型式
你上次問的那題是基本的，考了不會算也沒什麼好說的
他出的那幾題，我不是當老師的，不敢說絕對不會考
但連補習班也不教，應該不太可能考才對
有興趣的話，自己可以研究罷了

40440553

所以遞迴式看不出能不能化成可以直接消的模式...都只能用試的?
像我上次問的那題
http://bbs.61.com.tw/viewthread.php?tid=431212&extra=page%3D1
可以化成相消的
但你這題我看到時可能也會用一樣的方式去找有沒有剛好可以相消的方式
感覺這有點看運氣..?
畢竟數學考試都是再跟時間賽跑=口=

22169751

這是我們補習班的講義上的題目
書上寫<課外> 只附詳解 老師也沒教 我也不知道學校會不會考

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這跟多項式的配方法似乎有點類似
22169751 發表於 2015-3-3 15:28

這種有點像是
關係式樣子是怎麼樣
<bn> = f(<an>) 就有對應的型式
這些算是進階的題型了吧

22169751

這跟多項式的配方法似乎有點類似

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原來如此  用慢慢解的我就能懂了
22169751 發表於 2015-3-3 15:21

他是利用恆等式和必然有解的特性
就像 4#  一樣
為什麼代數字進去就能解出 a,b,c 來
差不多的意思

22169751

原來如此  用慢慢解的我就能懂了

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前面的幾題數列題也能用這種解法嗎?
22169751 發表於 2015-3-3 15:15

其實都是要用
<bn> = f(<an>)
然後 <bn> 成等比 (比方<bn+1> = r<bn>)
重點在  f(<an>) 要怎麼配 ....

39475494

慢慢解的話，就是我 3#  一開始寫的
y = (3x-2)/x 化成 y-a = b(x-a)/x
y = (3x-2)/x = b(x-a)/x +a = (bx-ab+ax) / x
b+a = 3 , ab = 2
解出來 (a,b) = (1,2) or (2,1)
一樣也可以