【數學】遞迴數列2

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a1=3   an+1=(3an-2)/an 求an
解:
∵an+1=(3an-2)/an  ∴令x=(3x-2)/x
→x²-3x+2=0    ∴x=1or2

an+1-1=[(3an-2)/an]-1=2(an-1/an)...①
an+1-2=[(3an-2)/an]-2=2(an-2/an)...②
①/②=(an+1-1)/(an+1-2)=2(an-1)/(an-2)
此時令bn=(an-1)/(an-2) ∴b1(a1-1)/(a1-2)=2
∴得bn+1=2bn  ∴成等比  公比=2 ∴bn=b1*2^(n-1)=2^n

還原:bn=(an-1)/(an-2)=2^n
→an-1=2^n(an-2)=2^n(an)-2^(n+1)
→2^n(an)-an=2^(n+1)-1  ∴(2^n -1)an=2^(n+1)-1
∴an=(2^(n+1)-1)/(2^n -1) 對於所有nξN
紅色部分是我看不懂的地方 有人能幫忙解釋嗎  感恩

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有點錯，小改一下
a1 = 3
∵<an+1> = (3<an>-2)/<an>  ∴令x=(3x-2)/x
→x²-3x+2=0    ∴x=1 or 2

<an+1> - 1 = [(3<an>-2)/<an>] - 1 = 2[(<an>-1)/<an>]...①
<an+1> - 2 = [(3<an>-2)/<an>] - 2 = 1[(<an>-2)/<an>]...②
①/② = (<an+1>-1)/(<an+1>-2)=2(<an>-1)/(<an>-2)
此時，令 <bn> = (<an>-1)/(<an>-2)
(<an+1>-1)/(<an+1>-2)=2(<an>-1)/(<an>-2)
可得<bn+1>=2<bn>
<bn> 成等比  公比=2
又 <b1> = (<a1>-1)/(<a1>-2) = 2
<bn> = <b1>*2^(n-1) = 2^n
.....

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y = (3x-2)/x 化成 y-a = b(x-a)/x
y = (3x-2)/x = b(x-a)/x +a = (bx-ab+ax) / x
b+a = 3 , ab = 2
這裡有個技巧
想要 y = (3x-2)/x 化成 y-a = b(x-a)/x
這裡的 x 是任意數(除了 x≠0 分母問題以外) 兩個等式都要成立
這種變化的等式，都是恆等式
(比方x²-1 = (x+1)(x-1) ，x =任意數 去代入都會符合，這叫恆等式)
x = a 當然也要成立
看右邊  y-a = b(x-a)/x
x = a 代入 , 可得 y = a
左邊的話 y = a = (3a-2)/a
解出來 a = 1, 2
即 x = 1, x = 2 代入兩邊等式都符合
理論上這並不表示上面算出來的 a, b 就是對的系數
這也只証明了 a=1(此時 b=2), a=2(此時b=1) 可能是
因為，他們也只確定了 (x=1, y=1), (x=2, y=2) 時，兩式是成立的
這也只是兩個點而已
並不代表 y = (3x-2)/x 和 y-1 = 2(x-1)/x 和 y-2 = b(x-2)/x 是一模一樣的
但也可以知道，除了這兩個以外，沒有其他 a, b有可能了
這又要扯到必然存在有解的問題，如果是必然存在，那就沒差了
a,b 兩個變數，處理一階的問題，是沒問題
你也可以用代數去証明這個解法
我認為前面這段可以在紙上寫，快速得到 1, 2，不要寫進解題流程

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比方 x² + 3x + 5 要化成 a(x+1)(x-1) + b(x+1) + c
你可以將 x=-1 代進去 c = 3
然後 x=1 代進去 2b+3 = 9 , b=3
然後 x=0 代進去 -a+3+3 = 5 , a=1
甚至 x->∞ 代進去求 a , a = 1
這是一樣的意思

22169751

an和an+1明明是不同東西
為甚麼把它們都化成x
是因為那個x只是為了表示一階的關係嗎
就像前面的幾題一樣  是為了能夠互相消去嗎

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an和an+1明明是不同東西
為甚麼把它們都化成x
22169751 發表於 2015-3-3 14:52

請看 3#
這是速解法，重點在 ...
y = (3x-2)/x 化成 y-a = b(x-a)/x
...
x = a 當然也要成立
看右邊  y-a = b(x-a)/x
x = a 代入 , 可得 y = a
左邊的話 y = a = (3a-2)/a
解出來 a = 1, 2

22169751

前面的幾題數列題也能用這種解法嗎?

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這樣說好了
你的目標是要將 y = (3x-2)/x 化成 y-a = b(x-a)/x 的型式
算出 a, b 來
你可以一步一步化
但他教了你一個快速的方式，就是用 x = a , y = a 代進去解
a = (3a-2)/a ，就能解出 a = 1, 2
然後你就可以很快的列出
y-1 = 2(x-1)/x
y-2 = 1(x-2)/x

這招有點偷吃步，原理我也說了
你考試不用把這段寫出來
因為 y = (3x-2)/x 化成 y-1 = 2(x-1)/x 和 y-2 = 1(x-2)/x
本來就沒錯 ....
y = (3x-2)/x
y-1 = (3x-2)/x - 1 = (3x-2-x)/x = (2x-2)/x = 2(x-1)/x
y-2 = (3x-2)/x - 2 = (3x-2-2x)/x = (x-2)/x = 1(x-2)/x
這樣寫沒人會說錯 ....
(但你怎麼知道要用 -1, -2 ?)

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慢慢解的話，就是我 3#  一開始寫的
y = (3x-2)/x 化成 y-a = b(x-a)/x
y = (3x-2)/x = b(x-a)/x +a = (bx-ab+ax) / x
b+a = 3 , ab = 2
解出來 (a,b) = (1,2) or (2,1)
一樣也可以

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前面的幾題數列題也能用這種解法嗎?
22169751 發表於 2015-3-3 15:15

其實都是要用
<bn> = f(<an>)
然後 <bn> 成等比 (比方<bn+1> = r<bn>)
重點在  f(<an>) 要怎麼配 ....