[【學科】] 【數學】review-指考篇

40033444

已知n為正整數, 當2ⁿ為9開頭的數字時, n最少為OO

我當時填了63
但答案給的是53

solution:

因為要9開頭
所以log開出來一定是xx.9542~xx.9999

n=1 log(2ⁿ)=0.301
n=2 log(2ⁿ)=0.602
n=3 log(2ⁿ)=0.903
...
n=10 log(2ⁿ)=3.010

然後我觀察小數點後的數字
發現小數點後1位數字要卡在9
然後我在漸漸加上小數點後1位是0的數字
因此n要一直+10
n的個位數字只能是3

n=13 log(2ⁿ)=3.913
n=23 log(2ⁿ)=6.923
n=33 log(2ⁿ)=9.933
n=43 log(2ⁿ)=12.943
n=53 log(2ⁿ)=15.953
n=63 log(2ⁿ)=18.963 (xx.9542~xx.9999)

但答案給的n=53 沒有在xx.9542以上
這裡出了什麼問題

40033444

不然我還有想出另一種方法
大概要花5~10分鐘
因為 2^3 = 8
再用(2^10t)=(1,024)^t去看
t=1 => 2^10=1,024 比 1,000 多 2.4 % → (1)
t=2 => 2^20=1,048,576 比 1,000,000 多 4.85...% → (2)
t=3 => 2^30=(1)(2)=1,073,741,824 比 1,000,000,000 多7.37...% → (3)

所以可以看成 把8進位成9
要比10^3t多12.5% (t=1,2,3,...)
也就是要1125開頭 才會進位成9
要多12.5% t可以抓在5~6之間
t=5 => 2^50 = (2)(3) = 1,125,899,906,842,624 剛好是1125開頭

22169751

log2≒0.30102999566
log2*53≒15.9545897702

40033444

有了@@ 遇到這種8.9邊緣的 抓0.30103

39475494

2^10 = 1024
所以你找到 63 的時候，要去檢查一下 53 有沒有可能 9
因為取 log 是近似值

2^53 vs 9*10^15 誰大
或者 8 * 1024^5 和 9 *1000^5
再或者 1.024^5 vs 1.125
1 + 5*0.024 + 10*0.024^2 + 10*0.024^3 + 5*0.024^4 + 0.024^5

1.125 - 1 = 0.125
0.125 - 5*0.024 = 0.125 - 0.12 = 0.005
0.005 - 10*0.024^2 = 0.005 - 0.00576 < 0
所以 1.125 是比較小的
1.024^5 > 1.125
即 2^53 > 9*10^15

如果不用 log，這題的概念是這樣的
2^10 = 1024，這個數字對開頭的數字而言是緩增的
Ans = 10m+n
題目問 9，是從 8 過去的
所以 n = 3 (2^3 = 8)
然後就開始 1.024^m > 9/8 = 1.125
去找 m

39475494

舉例的話 題目如果問 7
首先先確認 10 次以內沒 7 ok
7 是從 6 過去的
所以一開始就抓 64
Ans = 10m + 6  ← 2^6 = 64
64 * 1024^m >= 70000000...
1.024^m >= 70/64 = 1.09375
1.024^3 : 1 + 0.072 + 一點點，顯然離1.09375 很遠
1.024^4 : 1 + 0.096，那一定大過了
m = 4，10m+6 = 46
所以是 46

39475494

呵呵，我剛才才發現你 2# 有寫差不多的想法
這樣想是對的
log2 = 0.3010 已經記夠多了
我也不會去記 0.30103

在計算 1024^5 時
除非你有計算機，考試時完全乘出來是不好的
用 (1000+24)^5 去抓大概值
我上面提供了一個技巧
1.125 一項一項去減
0.024 乘開比較好算，而且也不用算到五次方那項

40033444

2項式有比較快
加到最後一關(24的5次)都沒有小於0的話
再考慮63
然後不用一個一個算
感恩^^

39475494

你最後的說法基本上對的，這裡有個可能性不高的東西，可能超乎你的預期
普遍上來說，不用計算到 24^5 這項，就算沒有小於 0
除非兩數接近到爆!! 這個接近程度可能比你想像的高很多
我先講個簡單的
以 7 來說 (下行取自 6#)
1.024^3 : 1 + 0.072 + 一點點，顯然離1.09375 很遠
我不用去計算這一點點是多少，但它顯然不足

也許你覺得 7 這題，沒 9 來的接近，對!!
那我們來看一下 9 開頭這題(下兩行取自 5#)
1 + 5*0.024 + 10*0.024^2 + 10*0.024^3 + 5*0.024^4 + 0.024^5
0.005 - 10*0.024^2 = 0.005 - 0.00576 < 0

這題是小於 0 的，但我們假設是反的，讓你體會一下，這接近到爆有"多難"
0.005 和 0.00576 ，相差 0.00076 ，你覺得很接近嗎 ?
我假設它不是 0.00576 ，而是 0.00424，這樣就沒小於 0 了。
0.005 和 0.00424，相差一樣 0.00076
那下一項呢 ? 10*0.024^3，這是前一項 0.00576 再乘上 0.024 唷
0.00076 很小，但對下一項，一點都不小呀
0.00076 比 0.00576 * 0.1 還大，那跟 0.00576 * 0.024 沒的比的
像這題，2^53 的開頭就到 9 了，但過不多，很接近
如果出現一個情況開頭是 8，差一點到 9
大概一樣會算到 0.24 兩次方，第三次方用判斷的

回頭思考出題用意
我認為題目考計算能量是爛題目
所以我認為他考的不是計算，而是考你簡化計算的能力
當然，硬算也能出來，但相對就要花掉多的時間