【數學】複數

42869207

大家晚安 0.0 先打個招呼
好的重要的來了 0.0

以數學歸納法証明對於任意自然數 n 及複數 z 不等於 1

1 + 2z + 3z^2 + ... + nz^n-1

=    z^-1 + nz^n - (n+1)z^n-1
     / z + z^-1 -2

26277806

雖然看不懂
但還是頂一下

42869207

雖然看不懂
但還是頂一下
26277806 發表於 2015-8-19 02:22

   我自己都不知道自己在寫甚麼 (X

35664048

我是有學過複數  但沒學過歸納法~但這種問題我通常都是先實驗看看他所提出的結論是否屬實~
在觀察他們的規律性...
但我發現一件事 你題目有key錯嗎??
因為1 + 2z + 3z^2 + ... + nz^n-1
似乎不等於   z^-1 + nz^n - (n+1)z^n-1/ z + z^-1 -2

42869207

我是有學過複數  但沒學過歸納法~但這種問題我通常都是先實驗看看他所提出的結論是否屬實~
在觀察他們的規 ...
35664048 發表於 2015-8-19 05:31

   沒Key 錯惹 0.0
可能有點亂

((z^-1) + (nz^n) - ((n+1)z^n-1))
     / (z + (z^-1) -2)


是醬沒錯 0.0

35664048

喔~若是這樣1 + 2z + 3z^2 + ... + nz^n-1確實等於
((z^-1) + (nz^n) - ((n+1)z^n-1)) / (z + (z^-1) -2)

這題我感覺有點像泰勒級數...
可以試著朝這方向找答案~
本人功力還不夠~要請其他高手來解...

26277806

我自己都不知道自己在寫甚麼 (X
42869207 發表於 2015-8-19 05:08

   感覺得出來

35664048

z=a+bi a是實部 b是虛部
假設取前2項1 + 2z  下面的算式
((z^-1) + (nz^n) - ((n+1)z^n-1)) / (z + (z^-1) -2)

n就代2
接下來就是長除法(國中數學)

39475494

左式 = 1 + 2z + 3z^2 + ... + nz^(n-1)
右式 = { z^(-1) + (nz^n) - [ (n+1)z^(n-1)] }  /  [z+z^(-1)-2 ]

當 n = 1 時
1 = [ z^(-1) + z - 2] / [ z + z^(-1) - 2] 成立

令 n = k 時成立
即
1 + 2z + 3z^2 + ... + kz^(k-1)
= [ z^(-1) + (kz^k) - (k+1)z^(k-1) ]  /  [z+z^(-1)-2 ]

當n = k + 1 時
左式 = 1 + 2z + 3z^2 + ... + kz^(k-1) + (k+1)z^k
= [ z^(-1) + (kz^k) - (k+1)z^(k-1) ]  /  [z+z^(-1)-2 ]     +     (k+1)z^k
= [ z^(-1) + (kz^k) - (k+1)z^(k-1)  +  (k+1)z^(k+1) + (k+1)z^(k-1) - 2(k+1)z^k ]  /  [z+z^(-1)-2 ]
= [z^(-1) + (k+1)z^(k+1) + (kz^k)-2(k+1)z^k - (k+1)z^(k-1) + (k+1)z^(k-1) ]  /  [z+z^(-1)-2 ]
= [z^(-1) + (k+1)z^(k+1) - (k+2)z^k]  /  [z+z^(-1)-2 ]
= 右式 (成立)
故得証

括號要加對呀
z^n-1 ≠ z^(n-1)

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冰語重出江湖啦!!!