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補充：

兩直線
和


的角平分線方程式為
42445888 發表於 2016-12-25 15:12

這題的概念是不是

求出在角平分線上的那個點啊

因為那個點到兩邊OA跟OB的垂直距離相等


所以是角平分線的一點

求出來之後當成OC再求方程式就可以

39475494

18# 對，垂直
好的，我寫一個過程給你看這是一個有趣的解析角度

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2016-12-29 17:37

可是線外一點又不一定是原點 O
對，我忘了

改一下
ax + by = c 化成 a(x-xq) + b(y-yq) = c - axq - byq
這樣還是同一條
但 a(x-xq) + b(y-yq) = (a , b)．(x-xq , y-yq)
(x-xq , y-yq) 這個東西就變成 Q(xq , yq)指向 (x , y)的向量了
QK = (a , b) * (c - axq - byq)/ (a² + b²)

只要點到線的距離的話
|QK| = |(a , b)| * |c - axq-byq| / (a²+b²)
=  |c - axq-byq| /√(a²+b²)

39475494

21# 嚴格說起來
不是一個點，是點集合

所有點集合起來構成角平分線(兩條)

反之亦然，兩條平分線上的任意點到兩線是等距的
所以代入公式(點到線 = ± 點到另一線)，也會成立

所以解出來的等式，就是那兩條線的線方程式

39475494

弄個題目來算好了

L : 3x + 2y + 10 = 0

線外一點 Q(1, 2)
已知線上一點 K，使QK 垂直 L 於 K 點
求 K 點座標 = ?

3x+2y = -10
3(x-1)+2(y-2) = -10-3-4 = -17
(3 , 2)．(x-1 , y-2) = -17
(3 , 2)．QK = -17
設 QK = m(3 , 2)
(3 , 2)．m(3 , 2) = -17
m = -17/13
QK = (-51/13 , -34/13)
K 點座標 = (1-51/13 , 2-34/13) = (-38/13 , -8/13)
K 代入 L : 3x + 2y + 10 = -114/13 - 16/13 + 10 = 0
沒錯

40033444

對了
那今天兩條線平行
用角平分線公式算出來
那條"角平分線"剛好會在中間嗎

40033444

18# 對，垂直
好的，我寫一個過程給你看這是一個有趣的解析角度




可是線外一點又不一定是原點 O
對，我 ...
39475494 發表於 2016-12-29 17:47

最後出來的QK長度
跟半徑公式 |ah+bk+c|/(根號(a²+b²)) = r 一樣嗎..
(這裡令直線L:ax+by+c=0, 圓C: (x-h)²+(y-k)²=r²)

39475494

L : 3x + 2y + 10 = 0，線外一點 Q(1, 2)
QK = (-51/13 , -34/13)
K 點座標 = (1-51/13 , 2-34/13) = (-38/13 , -8/13)
K 代入 L : 3x + 2y + 10 = -114/13 - 16/13 + 10 = 0

一不一樣，你可以算一算呀

線外一點Q(1, 2)，相當於圓心
L : 3x + 2y + 10 = 0，相當於切線
垂足 K(-38/13 , -8/13)，相當於切點
|QK| = |(-51/13 , -34/13)| = √(3²+2²) * 17/13 = 17/√13
|ah+bk+c|/(根號(a²+b²)) = |3*1+2*2+10|/√(3²+2²) = 17/√13
一樣呀

重點是，這個解析的角度，一來証明了公式，二來它可以算出垂足(切點)座標
當然，點到線的垂直距離(最短距離，切線圓半徑)，也能算
垂足座標比距離難呀

而且在22# 我有直接轉到距離公式 (如下)
只要點到線的距離的話
|QK| = |(a , b)| * |c - axq-byq| / (a²+b²)
=  |c - axq-byq| /√(a²+b²)
和你寫的不一樣的原因是，我一開始令的直線方程式是 ax+by = c，不是ax+by+c = 0

39475494

重點不是公式，而是這個解析流程
公式是一種像結論的東西
好用，但不會讓你思考，而且如果你不知道結論怎麼產生的，公式會忘
人不容易記住沒道理(不懂道理)又不常用的東西
正常學習下，幾乎所有一般性的公式，學生都有足夠的能力証明出來
ax + by = c
(a, b) 垂直於該線
為什麼是 = c ，不是 0
因為有個常量在 ... (a , b) ．OK = c ..... ← OK 是原點指向垂足 K 點的向量 ...
所以直線上任意一點和 (a , b)內積，都等於 (a , b)和 OK 內積 = c
我是希望你把這種感覺抓進來。

39475494

對了
那今天兩條線平行
用角平分線公式算出來
那條"角平分線"剛好會在中間嗎 ...
40033444 發表於 2017-1-1 11:55

是呀你可以自己算一下呀，不難算

4x+3y + 6 = 0
4x+3y + 4 = 0

|4x+3y+6|/√(4²+3²) = |4x+3y+4|/√(4²+3²)
|4x+3y+6| = |4x+3y+4|
4x+3y+6 = -(4x+3y+4) ← 4x+3y+6 ≠ 4x+3y+4
8x+6y+10 = 0
4x+3y+5=0

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是呀你可以自己算一下呀，不難算

4x+3y + 6 = 0
4x+3y + 4 = 0

|4x+3y+6|/√(4²+3²) = |4x+3y+4|/√( ...
39475494 發表於 2017-1-2 16:34

借問個

如果夾角是180度的話呢...?