A)
9²=5²+6²-2*5*6*cosβ
cosβ = (25+36-81)/60 = -1/3
sinβ = √(1-1/9) = √(8/9) = 2(√2)/3
△ABC = (1/2)*5*6*sinβ=10√2，對
B)
△ABC = 5x/2 + 6y/2 + 9z/2 = 10√2
5x+6y+9z = 20√2，對
C)
可以把 5x+6y+9z=20√2 看成一個平面方程式
x²+y²+z² 可以看成原點(0,0,0)到該平面上一點(x,y,z)距離的平方...
原點到一平面的最小值，就是原點與該平面垂直拉線的時候
(5,6,9)是平面的法線向量，也就是該垂直線的方向向量
該向量從原點(0,0,0)射向平面交點，所以平面交點(x,y,z)=(5,6,9)k
所以最小值發生在和x,y,z和5,6,9成比例的時候
x = (20√2)*[5/(5²+6²+9²)] = (5/142)*20√2
y = (6/142)*20√2
z = (9/142)*20√2
x²+y²+z² = (1/142)*400*2 = 400/71，錯了
D)
(a/b+b/a)/2 ≧ √[(a/b)(b/a)] = 1
(a/b+b/a) ≧ 2
→當a/b=b/a時，(a/b+b/a)有最小值 2
→當a=b時，(a/b+b/a)有最小值 2
(5x+6y+9z)*(5/x+6/y+9/z) = 25+36+81+30(x/y+y/x)+45(x/z+z/x)+54(y/z+z/y)
(20√2)(5/x+6/y+9/z) = 142 + 30(x/y+y/x)+45(x/z+z/x)+54(y/z+z/y)
≧ 142 + 30*2+45*2+54*2 = 142 + 129*2 = 400 {其中，最小值發生在x=y,y=z,z=x → x=y=z時}
∴(5/x+6/y+9/z)的最小值 = 400 / (20√2) = 10√2，對
E)
最小值時，x=y=z，即P點到三邊的垂直距離相等
P點在三內角的角平分線上
(角平分線上的任意點，到兩邊的垂直距離相等)
所以 P點是內心，錯了
(A)(B)(D) |
