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22169751發表於 2019-12-27 00:36 | 只看該作者

[【學科】] 【問題】工程數學

本帖最後由 22169751 於 2019-12-27 01:26 編輯

求 $f(x)=\left\{\begin{matrix} -4,-\pi \leq x\leq 0 \\ 4,0< x\leq \pi \end{matrix}\right.$ 的傅立葉級數
A: $\frac{16}{\pi }\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2n-1}sin((2n-1)x)$
我的過程:
$f(x)=\frac{1}{2}a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}cos(\frac{n\pi x}{L})+b_{n}sin(\frac{n\pi x}{L}))$
$\frac{1}{2}a_{0}=0$
$a_{n}=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(x)cos(nx)dx=\frac{1}{\pi }(\int_{-\pi }^{0}-4cos(nx)dx+\int_{0 }^{\pi }4cos(nx)dx)=0$ $b_{n}=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(x)sin(nx)dx=\frac{1}{\pi }(\int_{-\pi }^{0}-4sin(nx)dx+\int_{0 }^{\pi }4sin(nx)dx)$
$=\frac{1}{\pi }(\frac{4}{n}cosnx\left. \right \}_{-\pi }^{0}+\frac{-4}{n}cosnx\left. \right \}_{0}^{\pi })=\frac{4}{n\pi }(1-(-1)^{n})-\frac{4}{n\pi }((-1)^{n}-1)$
$=\frac{8}{n\pi }(1-(-1^{n}))$
想問要怎麼把bnsin(nx)化成答案那種形式

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39475494發表於 2019-12-27 10:43 | 只看該作者

本帖最後由 39475494 於 2019-12-27 11:06 編輯

這樣寫可能比較好

bn = 8[1-(-1)^n]/(n*pi) for n = 1 to ∞
n = 2, 4, 6, ... 時
bn = 0
n = 1, 3, 5 ,... 時
bn = 16/(n*pi)
f(x) = Σ(n = 1 to ∞) 8(1-(-1)^n)sin(nx) / (n pi)
= Σ(n = 1, 3, 5 to ∞) 8*2sin(nx) / (n pi) + Σ(n = 2, 4, 6 to ∞) 8*0sin(nx) / (n pi)
= Σ(k = 1 to ∞) 8*(1-(-1)^(2k-1))sin((2k-1)x) / [(2k-1)pi] + Σ(k = 1 to ∞) 8*(1-(-1)^(2k))sin((2k)x) / [(2k)pi]
= Σ(k = 1 to ∞) 16sin((2k-1)x) / [(2k-1)pi] + 0
然後啞變元，把 k 再換回 n
f(x) = Σ(n = 1 to ∞) 16sin((2n-1)x) / [(2n-1)pi]

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33144653發表於 2020-1-2 09:34 | 只看該作者

本帖最後由 33144653 於 2020-1-2 01:39 編輯

只有奇數 bn才會是16/pi
另外如果你已判斷出這是奇函數還是偶函數，a0&an根本連算都不用算~

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39475494發表於 2020-1-3 10:52 | 只看該作者

本帖最後由 39475494 於 2020-1-3 11:05 編輯

3#
是的sin(奇函數)怎麼疊加都還是奇函數，而且還會破壞偶函數的對稱性。cos(偶函數)亦是如此。
所以某個奇函數去解傅立葉，基底不會有cos(偶函數)。偶函數亦是如此。
還有就是 sin 和 cos 不管怎麼疊，長時間下來的的平均值都會是 0
∫0到∞ [asin(pt)^m + bcos(qt)^n ] dt / t = 0
所以如果函數有非零的平均值，a0 就有值 ( sin cos 疊不出這個，只能靠 a0 )

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22169751發表於 2020-4-3 01:53 | 只看該作者

求 $f(x)=\left\{\begin{matrix}sinh(x),K\leq x< 2K \\ 0,0\leq X< K and x\geq 2K \end{matrix}\right.$ 的傅立葉cos和sin轉換

想問這題有沒有像是傅立葉轉換的平移a直接乘以 $e^{-i\omega a}$ 的做法
還是只能從定義 $\int_{0}^{\infty }f(x)cos(\omega x)dx$ 慢慢做

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22169751發表於 2020-6-23 17:39 | 只看該作者

本帖最後由 22169751 於 2020-6-24 00:09 編輯

解▽²u(x,y)=0
u(0,y)=u(1,y)=0,0≦y≦π
u(x,π)=0
u(x,0)=sin(πx),0≦x≦1

A: $u(x,y)=\frac{1}{sinh\pi ^{2}}sin\pi xsinh(\pi (\pi -y))$
過程:
...
$u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty }A_{n}sinh(n\pi (\pi -y))sin(n\pi x)$

想問An如果解出來=0的話要怎麼變成答案那種形式

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39475494發表於 2020-6-29 10:41 | 只看該作者

本帖最後由 39475494 於 2020-6-29 10:42 編輯

如果解出來 An = 0
那就 u(x,y) = 0 了
你可以檢查一下 A1 是不是還未知? 只是 A2以後 = 0
然後 u(x,0) = sin(pi x) 代入， A1 可得 1/ sinh(x²)

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22169751發表於 2020-6-29 13:36 | 只看該作者

本帖最後由 22169751 於 2020-6-29 23:53 編輯

如果這題u(x,0)的條件改成u(x,0)=sin(2πx),0≦x≦1
那答案會是n=2的時候對嗎?

順便問一下
這題在解y的邊界條件的時候:Y(y)''-n²π²Y(y)=0,Y(π)=0
$Y(y)=ce^{n\pi y}+de^{-n\pi y}$

如果邊界條件是Y(0)=0
c+d=0
c=-d
所以Y(y)=c*sinhnπy

但是這題邊界條件Y(π)=0
$Y(\pi )=ce^{n\pi^{2}}+de^{-n\pi^{2}}=0$
要怎麼轉成Y(y)=sinhnπ(π-y)的形式
還是只能先把題目條件轉成Y(0)=0解出sinhnπy後再進行座標變換轉成sinhnπ(π-y)

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