y = asin(bx+c)+d
這分兩個來看
y' = sin(bx+c)
y = ay'+d
先看 y' = sin(bx+c)
這個和 y' = sinx 來比比
在此之前，先想想
F1 : y' = sinx
F2 : y' = sin(2x)
圖形上差在哪 ?
F1 的 x 動2格，相當於 F2 的 x 動一格
或者說，一樣的 y ，F1 的 x 是 F2 的x 的兩倍
從圖形上，F1 就比較緩，F2 是 F1 往 y 軸壓縮一倍
這是什麼 ? 這就是週期
原本 y' = sinx ，x 每 2pi 一個週期，回到完全相同的 y'
現在 y' = sin2x，x 只要 pi，就回到完全相同的 y'
週期變成 pi 了
所以現在可以知道，y' = sin(bx+c)
b 會讓周期從原本 2pi 變成 2pi/b
想法的話，原本 x 走了 2pi 才讓y回到起點
現在 b 倍了，只要 2pi/b 就有一樣的效果
那 y' = sin(bx+c) 的 c 呢 ?
一樣比一比
F1 : y' = sin(bx)
F2 : y' = sin(bx+c)
F1 的 x 要多加上 c/b 才會和 F2 的 x 一樣
想法：F1 的圖在 x= c/b 相當於 F2 的圖 x = 0
所以 F2 的圖相當於 F1 的圖往左移 c/b
下一段 y = ay'+d
這個就容易了，a 讓 y' 放大倍數
這就是影響振幅
d 是讓原本 ay' 的位置往上移 d
(這裡d不用除以a唷
因為上移量是對於 y 而言，y = ay'+d
d 對 y 不用 /a，d 對 y' 才要
像上面的 y' = sin(bx+c)
c 對 x 才要 /b，而且結果是左移 (負的)
這裡 d 對 y 是正的，而且不用 /a
這題的話，先處理 d ，然後縮 a
垂直向的上限(波峰) 1，下限(波谷)-3
中心點本該在 0，現在變到 -1 了[1+(-3)]/2
所以 d = -1
sin 的振幅本來 1，現在變成 2 了，變 2 倍，所以 a = 2
把 ad 的效果拿掉的話
圖就往上移 1，然後振幅縮一倍
這時那兩個點，上移1，縮一倍
A (pi/3, 0) -> (pi/3, 1) -> (pi/3, 1/2)
B (pi, 0) -> (pi, 1) -> (pi, 1/2)
這時圖形的方程式就變 y' = sin(cx+d)
y' = sinx 的時候，y' = 1/2 時，x 在 5pi/6↘ 和 13pi/6↗
現在變成 pi/3 和 pi
相位上的差距 13pi/6 - 5pi/6 = 8pi/6
變成 pi - pi/3 = 2pi/3 少一倍
所以週期變 pi，b = 2
最後看 c
y' = sinx
原本y' = 1/2 時，x 在 5pi/6↘ 和 13pi/6↗
週期變一半後 y' = sin2x
y' = 1/2 時，x 在 5pi/12↘ 和 13pi/12↗
再向左平移 c'/b = c'/2 後 y' = sin2x + c'
y' = 1/2 時，x 在 5pi/12-c'/2↘ 和 13pi/12-c'/2↗
5pi/12 - c'/2 = pi/3 (A點)
13pi/12 - c'/2 = pi (B點)
代入 A 點即可，AB間距已經拿來算 b=2 週期變一半
所以另一點只能拿來驗証
c' = pi/6
c 有幅角問題，所以 c = pi/6 ±2pi * n
這題最難算的是 c
這種題目用畫的比較好講
簡單講的話
y = asin(bx+c)+d
b, c 和 x 比較相關
a, d 和 y 比較相關
b 是 x 方向的放大倍數，所以相當於週期 /b 倍
c 是 x 方向的偏移
但請注意，圖形或座標，是看 x y 的
所以 c 去影響 x 的時候
原本 y = sinbx = sin[b(x-c/b)+c] 變成 sin(bx+c)
思考：原本 x = c/b 和 變成後的 x = 0 一樣
所以 +c 在圖形上是 讓 x 往左移 c/b
然後 a 是管 y 的振幅，a 愈大，y 愈大，圖上振幅愈大
d 是管 y 的偏移量，d愈大，y 愈大，圖形上移量
而 y = ay' + d， d 是直接影響 y 的，這點和 x 不一樣唷!! |
