[【學科】] 【數學】differentials

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(b)應該怎麼回答
求解說 感恩

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先翻譯題目

物理：微積分，第4版，第4頁，Eugene Hecht（Pacific Grove，CA：Brooks / Cole，2000），在對於長度為L的鐘擺導出公式T(週期) =2π(圓周率)√(L / g(重力加速度))的過程，作者得到了擺錘的切線加速度aT = -gsinθ。然後提出：「對於小角度，θ的值若以弧度表示，幾乎等於sinθ的值;它們差異小於2％，大約20°」。
(b)驗證正弦函數的線性近似值為sin x~x。使用圖形設備確定x的值sin x和x的差異小於2％。然後通過從徑度量(弧度)轉換為度度量(角度)來驗證Hecht的陳述。

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假設一函數 f(x) = sin x 且原點f(a) = 0，我們需要在原點討論其函數值及導函數(微分後的結果)： f(x) = sin x
f(0) = sin 0= 0
f ' (x) = cos x   (因sin x 的微分為 cos x)
f ' (0) = cos 0= 1
在 x ∼(近似於) a 時
f(x) = f(a) + f ' (a)*(x − a)
       = f(0) + f ' (0)*(x − (0))
       = 0 + 1(x)
       = x
得證x ∼(近似於) 0 時 sin x ∼(近似於) x .
如果我們希望近似值達到2％，那麼兩者之間的差異應該小於2％。找到這種情況最簡單的方法是繪製y = |（sin x  -  x）/ x |的圖形。
以下是這種狀況的座標圖。

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2019-1-22 10:03

由上圖，當x = 0.35 (弧度) = 36*(0.35)/(2* π(圓周率) ) = 20.0535°時，它們相差大約2％

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θ->0 時 sinθ~θ 的証明
一般是用夾擠的方式
sinθ <= θ <= tanθ
當θ->0 時，tanθ/sinθ = 1/cosθ = 1
故當θ->0 時，sinθ = θ = tanθ

你用了θ->0， 1 = cosθ = sinθ 微分 = (sinθ - 0)/(θ-0)
所以 sinθ ~ θ
但 cosθ = sinθ 微分 這件事，是lim  (sinθ - 0)/(θ-0) 之後得到的東西
你等於拿了後面的結果去用了
除非你找到另一個當θ = 0 時，sinθ 的斜率 = 1 的計算方式
不然數學家拿 A 得到 B，而你只是回頭拿 B 証明 A ，這論証是有瑕疵的