39475494

差不多這個意思
思考的順度不太一樣
解答是 x>2，乘進來的是 x ，不是它，表示 f(x) 有 (x-2) 這項
f(x) 是兩次的，所以剩的那根不是虛根
xf(x) 出來兩個了 0 , 2，但答案沒有 0
所以剩的那個是 x，然後變成 x² 恆 >= 0
xf(x) = x²(x-2) > 0 ，x²就可以消失了

PS :若題目是 xf(x)>=0， x²(x-2)>=0
那 x² 會留下 x=0 這個點唷

40033444

差不多這個意思
思考的順度不太一樣
解答是 x>2，乘進來的是 x ，不是它，表示 f(x) 有 (x-2) 這項
f(x) 是 ...
39475494 發表於 2017-8-4 09:56

了解^^

40033444

另外
我想問

f(x)的定義域為(-∞,∞), 值域為(-∞,∞) 且f(x)為連續函數
g(x)為連續函數, 定義域為(-∞,∞)
那f(x)和g(x)一定會有交點嘛

39475494

定義域值域和交點是沒有關係的

比方，f(x) = x ，定義域為(-∞,∞), 值域為(-∞,∞) ，連續
g(x) = x+1，定義域為(-∞,∞), 值域為(-∞,∞) ，連續
那他們有相交嗎 ?

39475494

其實說沒有關係也不是很恰當
應該說，如果定義域沒有交集，或值域沒有交集
那就不可能有交點
比方，f(x) = sinx，g(x) = 5
值域沒有交集，就不可能有交點
但有交集也未必有交點

40033444

定義域值域和交點是沒有關係的

比方，f(x) = x ，定義域為(-∞,∞), 值域為(-∞,∞) ，連續
g(x) = x+1， ...
39475494 發表於 2017-8-7 10:49

對耶..
平行的時候
f(x)和g(x)是沒有交集的

---

[/hr]

其實當初想到這個問題
是在我寫講義的時候發現的 ( 同步演練1.(3) )



5次的那個我把它當上面說的 f(x) ← x和f(x)的範圍在-∞~∞之間
4次的那個則是 g(x) ← x的範圍在-∞~∞之間, 但g(x)不限制

就好像一張紙
首先拿藍筆在這張紙上
隨便畫一條不中斷的曲線( 代表f(x) )
但必須經過最左端( x=-∞ ). 最右端( x=∞ ). 最上端( f(x)=∞ ) 以及最下端( f(x)=-∞ )
接著用一隻紅筆
劃一條不中斷的曲線( 代表g(x) )
但必須經過最左端( x=-∞ ). 最右端( x=∞ )

最後
f(x)和g(x)無論怎麼畫(但都還是曲線)
會發現f(x)和g(x)一定會有多於1個交集
因為g(x)永遠都跨不過f(x)無窮高or無窮低的頂點

但上面說的平行是例外
因此講義上那題的寫法還不夠完整

39475494

不是這樣子的
如果你認為平行是例外，不平行的例子一樣可以舉給你
比方 y=x ，定義域為(-∞,∞), 值域為(-∞,∞) ，連續
y = x² + 1，定義域為(-∞,∞) ，連續
他們有交點嗎 ? 沒有呀
紙上你怎麼畫都會有交點，因為你把 y 的 ∞ 設定成有限(必須在紙上)了
這等於是強迫了你畫的線的y是有極限的
無限的概念不是這樣的

這題怎麼解
你要加入一個想法，x^5 發散的速度比f(x) 快，f(x)才四次
這樣才行
用列式的寫法的話
lim(x->∞)( x^5 - f(x) ) > 0
lim(x->-∞)( x^5 - f(x) ) < 0
而且兩個都是連續的函數
所以 x^5 - f(x) = 0 必存在有實數解， for -∞ < x < ∞

40033444

不是這樣子的
如果你認為平行是例外，不平行的例子一樣可以舉給你
比方 y=x ，定義域為(-∞,∞), 值域為(- ...
39475494 發表於 2017-8-8 10:40

也就是說
f(x)=x, g(x)=x²+1
看g(x)的頂點是(0,1)
g(x)會發散比較快
f(x)則比較慢
所以g(x)恆在f(x)之上
f(x)和g(x)沒有交點?

39475494

先回到正題
f(x) 和 g(x) 有沒有交點這件事
你要知道，如果你找出
當 x = a 時，f(x) > g(x)
當 x = b 時，f(x) < g(x)
且 f(x)，g(x) 都是連續的函數
你可以說 x 在 (a,b) 之間，存在 f(x) = g(x) 的解
但是，如果是
當 x = a 時，f(x) > g(x)
當 x = b 時，f(x) > g(x)
且 f(x)，g(x) 都是連續的
你不能說， x 在 (a,b) 之間，沒有 f(x) = g(x) 的解
也許在 (a,b) 之間，f(x) 曾經低於 g(x)，之後又高過 g(x) 也不一定。
所以，這個方式只能証明存在有解(交點)，並不能証明不存在交點。

你提到了頂點，這個想法接近了。
但頂點不是對的，頂點不是最接近的地方。
你可以提兩個，一個是判別式，b²-4ac < 0，一個是完全平方法。
其實判別式的來源是公式解，公式解的來源是完全平方法。
它們是同一個東西。

g(x)-f(x) = x² + 1 - x = x² - x + 1

來討論 g(x)-f(x) = 0 的解
  b²-4ac = 1 - 4 = -3 < 0，無解
  所以不會有 g(x)-f(x) = 0 的時候
  或者 g(x)-f(x) = x² - x + 1 = (x - 1/2)² + 3/4 > 0
  一樣
這件事要這樣看，而不是用頂點看
不然，f(x)=x, g(x)=x²+0.1
g(x) 頂點 (0, 0.1) 雖然高過 (0, 0)
但其實是有交點的

最後你寫的對，g(x)=x²+1 恆在 f(x)=x 之上，f(x)和g(x)沒有交點
你只差在不該用頂點去討論。

40033444

當 x = a 時，f(x) > g(x)
當 x = b 時，f(x) < g(x)
且 f(x)，g(x) 都是連續的函數
你可以說 x 在 (a,b) 之間，存在 f(x) = g(x) 的解
但是，如果是
當 x = a 時，f(x) > g(x)
當 x = b 時，f(x) > g(x)
且 f(x)，g(x) 都是連續的
你不能說， x 在 (a,b) 之間，沒有 f(x) = g(x) 的解
39475494 發表於 2017-8-9 12:43

這和勘根定理有點像耶
只是g(x)變成y=0而已
然後判斷出f(x)和g(x)
在f(a)>g(a), f(b)>g(b)時, f(x)和g(x)有正偶數個交點(包含0)
f(a)>g(a), f(b)<g(b)時, f(x)和g(x)有正奇數個交點

g(x)-f(x) = x² + 1 - x = x² - x + 1

對耶, 距離的概念
最小值要>0
h(x)=|g(x)-f(x)|=|x² - x + 1|如果有=0的地方, 那就是有交點的地方
a>0 得到 有最低點
顯然(4ac-b²)/4a = (4-1)/4 > 0
所以h(x)>0, f(x)和g(x)沒有交點