[【學科】] 【數學】合成函數微分

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(a)
想法一:
f(x)=2x,0≦x≦2
g(x)=-3x+6,0≦x≦2
u(x)=f(g(x))=-6x+12,0≦x≦2
u'(1)=-6
想法二:
u'(x)=[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)
∴u'(1)=f'(g(1))*g'(1)
=f'(3)*(-3)=3/4


請問哪個是正確的 求解說 感恩

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(a)
想法一:
f(x)=2x,0≦x≦2
g(x)=-3x+6,0≦x≦2
u(x)=f(g(x))=-6x+12,0≦x≦2
u'(1)=-6
想法二:
u'(x)=[ ...
22169751 發表於 2018-10-23 00:30

都對呀
f'(3) = ?

22169751

我想問的是想法一不會牽扯到x>2之後的圖形
可是想法二會
假設這題想法一和想法二的答案一樣好了
如果我今天把x>2之後的圖形隨意改變一下
想法一的答案仍然不變 但是想法二就變了
而且(b)問的按照想法二來解的話
答案會是不存在
按照想法一的話答案還是-6

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「想法一不會牽扯到x>2之後的圖形」 ?
x>2 ，f 和 g 的函數方程式就會變了呀
f(x) = (-1/4)x+9/2
g(x) = (2/3)x-4/3
圖形變了，方程式會變，f(g(x))也會變呀

(b)問的
f(x)=2x,0≦x≦2
g(x)=-3x+6,0≦x≦2
想法一
v(x) = g(f(x)) = -3(2x)+6 = -6x+6
v'(x) = -6
想法二
v(x) = g(f(x))
v'(x) = g'(f(x))* f'(x)
=(-3)*2 = -6
沒有不存在呀

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v'(1)=g'(f(1))*f'(1)
=g'(2)*2

g'(2)不存在

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v'(1)=g'(f(1))*f'(1)
=g'(2)*2

g'(2)不存在
22169751 發表於 2018-10-23 10:56

哦，原來你是指這個問題
嗯，那這邊兩個想法都錯了

啊，不對，你的第二個想法就想表達這個吧 ?
那你的第二想法對

f(x)=2x,0≦x≦2
g(x)=-3x+6,0≦x≦2

x=1 or 甚至 x=2 的時候
f(1) = 2
g(f(x)) 就不能單純當 -3(2)+6 來看
甚至 f(2) = 4
g(f(x)) 要用 (2/3)(4) - 4/3 來看

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這樣說好了
我舉個例
f(x) = ax+b for x>=k
f(x) = cx+d for x<k

f(g(x))時
f(g(x)) = a*g(x)+b for g(x)>=k
f(g(x)) = c*g(x)+d for g(x)<k

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了解了
因為g(1)=3>2
所以不能代入2x

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這是要使用Chain rule吧?

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想法二是走 chain rule
但是問題不在 chain rule 上
想法一也可以是對的
想法二也要考慮到 g(x)所在的範圍