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排列組合、機率
重點在情境轉化成"列式"的過程
不要用背的，而是用情境想法的套入
比方說，五個蘋果給 ABC 三個人分，沒分到亦可，有幾種分法 ?
1. 先想清楚題目
蘋果沒有分別，三個人有分別
也就是A3 B1 C1 和 A1 B3 C1 是兩種(不是同一種)
而 A 和 B 交換一顆蘋果，仍算是同一種
沒分到亦可，即表示 A0 B3 C2 也可以是一種
2. 用數的話呢 ?
有時候用數的可以讓自己感受或分析一下這題解法的方式
既然要用數的，那一定要有規律的數，不然可能會少數或重複數
就用 A 愈多愈優先，A一樣多時以 B 愈多愈優先，這樣的方式數
500
410 401
320 311 302
230 221 212 203
140 131 122 113 104
050 041 032 023 014 005
數完了，一共 21 個
用數的想法，會有一種感覺，A佔m個 B+C 就剩 5-m 個
分法就是 (5-m, 0) .. (4-m, 1), ... , (0,5-m) → 6-m 種
A 從 5 到 0 ，解法就從 1 到 6 (6-5=1, 6-0=6)
所以，這題有一種解法出來了 1+2+3+4+5+6 = 21
(我在上面列 500 , 410 401 , ... 的時候也是列成這樣的)
我想，有些人可能開始想一個問題了
三個人可以這樣算，我甚至可以導出 n 個蘋果分給三個人幾種分法的公式
n 分三個人
A n 到 0 , 分法 1 到 n+1 ，即 1+2+3+...+n+(n+1) = (n+1)(n+2)/2
但如果不是三個人呢 ?
這個方法在人數多時，其實不好用，情境的過程要再改一種

OOOOO ← 五顆蘋果，我在裡面插進兩個板子，將五顆蘋果隔成三區
隨意的試幾個
O|OOO|O ← 131 OK (固定拿的順序是 ABC，即 A1，B3，C1)
|OOO|OO ← 032 OK
|OOOOO| ← 050 OK
||OOOOO ← 005 OK
OO||OOO ← 203 OK
可以感覺的到，板子插邊邊是允許的，因為 005 050 032都要算進去(21種裡面的3種)
板子也可以相鄰放，因為 203 也要算進去(也是21種裡面的1種)
這兩個板子分不分異同 ?
不分，因為 OO|OO|O 和 OO|OO|O 都是 221，只能算一種
所以現在題目變成，五個蘋果，用板子隔開，板子能放兩邊，可以兩板子相鄰放，能有幾種隔法?
OOOOO ← | |
這題要怎麼解 ? 把板子也當成蘋果來看呢 ?
OOOOO ← OO
來試試
OOOOOOO ← 131 OK
OOOOOOO ← 032 OK
OOOOOOO ← 050 OK
OOOOOOO ← 005 OK
OOOOOOO ← 203 OK
這感覺，超像 C7取2 的，多想一想
藍蘋果O，其實是板子，用來隔開五個蘋果，並不會真的分給ABC
為什麼把他當成蘋果，因為你們學 C?取? 習慣要一樣的東西才會當不分類
其實五個蘋果隨意插兩個板子的插法數(允許插兩邊、相鄰插) 和 七個蘋果隨意取兩顆當板子是一樣的
回到解題，C7取2 = 7!/2!/5! = 21 (和數的一樣)
這就是 H，所有的 H，都能用這種想法去列式變成 C?取?
其實你會發現，H 的公式 : H(n, m) = C(n+m-1, m) = C(m + n-1, n-1)
看這個C(m + n-1, n-1) ，其實... n是人數，n-1 是板子數，m是蘋果數
H(3,5) = C(5+2, 2) = C (蘋果+板子) 取 板子

這裡再加一點，如果題目說，三個人每個人至少要分到一顆
怎麼辦 ?
本來，五個蘋果隨意插兩個板子的插法數 和 七個蘋果隨意取兩顆當板子是一樣的
但如果板子不能插在最左或最右，就不一樣了，因為C?取?是可以取到兩旁的蘋果的
然後兩個板子不能相鄰，這也是麻煩，C?取?是可以取到相鄰的兩顆蘋果
如果要再去扣掉數插在旁邊的、相鄰的，這也不好算
所以，解法是，一開始先讓 ABC 各拿走一顆蘋果，就可以將題目改掉了
五個蘋果給 ABC 三個人分，每人至少分到一顆，有幾種分法 ?
二個蘋果給 ABC 三個人分，沒分到亦可，有幾種分法 ?
這兩題是一樣的答案
311 <->  200
221 <->  110
212 <->  101
131 <->  020
122 <->  011
113 <->  002
情境完全對應，答案一樣都是 6
這就是用H解題的情境
我再描述一次
一樣(不區分)的東西，分給不一樣的XX (必須分光東西)
如果底限是0 (可不拿)，那直接用 H 或 加板子用 C
有底限，比方至少拿1個，那就先把底限分下去
因為東西是不區分的，先分後分都沒差(先滿足題目要求，剩的再去計算分法幾種)

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比方 9# 的例子 (9# 是高手唷)
假設有5款遊戲分別是摩爾莊園、賽爾號、彈彈堂、小花仙及功夫派
今天工作人員要從這5款遊戲裡 (每款遊戲的玩家都不少於3人) 隨機選出3位玩家送出禮物

3位玩家是不區分的，而遊戲是不同的
把三個玩家從五個遊戲中抽出，有幾種人數分配的情況
(其實等同三個蘋果分給五個人，允許沒分到)
也就是三個人用四個板子去隔開 (三個人是不區分的唷 ← 因為題目是問人數分配幾種)
C7取4 = 35
其實學排列組合和機率，就是要不斷的想這些情境一樣不一樣，差異在哪
然後套出可列式的流程
少部分的題目要用數的，或用數的去分類

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那請問樓上兩位這題你們會用排列還組合?
''是非題有五題,小明不經思考作答,則答對3題或3題以上的機率為何?
23909504 發表於 2015-5-2 13:57

這樣的題目，讓我想到巴斯卡三角
(x+1)^5 = x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1
1 5 10 10 5 1 怎麼來的，有想過嗎 ?
有程度不錯，應該會想到這個
        1
      1   1
     1  2  1
   1  3  3  1
  1  4  6  4 1
1 5 10 10 5 1
還有些程度不錯的人會想到 C5取0，C5取1，C5取2，...，C5取5
有想過這些怎麼來的嗎 ?

先講巴斯卡三角
(x+1)^5 = (x+1)^4 * (x+1) = (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) * (x+1)
1  4  6  4  1
    1  4  6  4  1
-----------------
1 5 10 10 5  1
所以 5 = 1(左上)+4(右上)，10 = 4(左上)+6(右上)，10 = 6(左上)+4(右上)， ...
這只是我拿第五排(五次方)去看，這和第四排(四次方)的關係，其實所有的都一樣
(x+1)^n = (x+1)^(n-1) * (x+1)
乘開一定是 "(x+1)^(n-1) 展開的一串" 去加 右移一位的同一串 (因為是乘以 x+1 )

C5 取 0~5 呢 ? 這和這題有關係
(x+1)^5 = (x+1)(x+1)(x+1)(x+1)(x+1)
展開後，一共會有 2^5 = 32 項，而且各項的系數都是 1
然後整理，同樣是 x^5 的有1項，同樣是 x^4 的有5項，同樣是 x^3 的有10項， ...
我今天如果只想算 x^3 的系數，怎麼算 ?
展開前各組(不同顏色)中，取 x 或 1 出來乘，取到的是 3個x 和 2個1 時，就會讓 x^3 的項次多 1
比方 (x)(x)(x)(1)(1)
比方 (x)(1)(x)(x)(1)
這些都會變成x^3 的系數
那題目就變成，五組(不同顏色，非x即1)，有三組是x，兩組是1的排列有幾種
再變一下，五組取三組當x，剩的兩組就當1，有幾種取法 → C5取3
這和五題，答對三題的排列是一樣的(答對相當於取到x)
所以 x^5 的系數 → 五組都取到 x 的排列數 → 五組全取當x → C5取5 = 1
所以 x^4 的系數 → 五組有四組x，一組1 的排列數 → 五組取四組當x → C5取4 = 5
所以 x^3 的系數 → 五組有三組x，二組1 的排列數 → 五組取三組當x → C5取3 = 10
所以 x^2 的系數 → 五組有二組x，三組1 的排列數 → 五組取二組當x → C5取2 = 10
所以 x^1 的系數 → 五組有一組x，四組1 的排列數 → 五組取一組當x → C5取1 = 5
所以 x^0 的系數 → 五組都取到 1 的排列 → 五組取0組當x(全是取1) → C5取0 = 1
然後，展開後一共有32項 ( 2^5)
32 = 1+5+10+10+5+1 這是沒錯的
同理，用在這題
五題全對 1 種
四對一錯，5種
三對二錯，10種
二對三錯，10種
一對四錯，5種
五錯全錯，1種
五題，每題不是對就是錯 2^5 = 32 種
32 = 1+5+10+10+5+1 這也是沒錯的

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上面的兩位都好厲害........

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11樓的大大說的很詳細很清楚
3樓大大也是 舉的例子有趣也很明瞭
排組要加油了