[【學科】] 【數學】多項式係數和

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2018-8-9 08:38

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沒人回，那我就解了

令 a0+a3+...+a198 = A
令 a1+a4+...+a199 = B
令 a2+a5+...+a200 = C
令 cos120+ i sin120 = ↖
令 cos240+ i sin240 = ↙

恆等式 x=任意，代入後都會成立
x=1 代入
(1+1+1)^100 = a0+a1+a2+...+a200
3^100 = A+B+C

x=↖ 代入
(1+↖+↙)^100 = a0+a1↖+a2↙+...+a200↙
0 = A+B↖+C↙
可解得 B=C，A=B/2+C/2

x=↙ 代入
(1+↙+↖)^100 = a0+a1↙+a2↖+...+a200↖
0 = A+B↙+C↖
可解得 B=C，A=B/2+C/2

3^100 = A+B+C
B=C
A=B/2+C/2

A=3^99
B=3^99
C=3^99

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嘖嘖
明著考多項式
暗著考複數極式

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這麼久才回不好意思~~
可以先代比較低的次方試試
(1+x+x^2)^3
a0+a3+a6=9
a1+a4+a7=9
a2+a5+a8=9
3^(3-1)=3^2
(1+x+x^2)^4
a0+a3+a6=27
a1+a4+a7=27
a2+a5+a8=27
3^(4-1)=3^3
所以這題的答案(1)(2)(3)皆為3^(100-1)=3^99

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可解得 B=C，A+B/2+C/2=0

可解得 B=C，A-B/2-B/2=0

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嗯，抓 x 軸方向，以 A 的方向為正的話，B/2 + C/2 是相反的方向
向量是 A的向量 + B的向量 + C的向量 = 0
抓 x 軸 Ai + (-B/2)i +(-C/2)i = 0
A - B/2 - C/2 = 0
我會習慣列成 A = B/2 + C/2