[【學科】] 【數學】猜數字遊戲-機率

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從1~9中任選4個數字(不重複)構成四位數(正確答案)，問4B的機率為何?(A:數字對且位置對 ;B:數字對但位置不對)

答案是  (4!-4x3!+6x2!-4x1!+0!)/ (9x8x7x6) =1/336
但我實在看不懂分子的意思，我的解法也只是列出來這種蠢笨的方法，
還請解惑

以下是有人推論關於此類題目的網站
http://blog.xuite.net/johns_lin/twblog/150503057-%E7%8C%9C%E6%95%B8%E5%AD%97%E9%81%8A%E6%88%B2%E7%9A%84%E6%95%B8%E5%AD%B8

其中
"1A有多少個數字可能？
ANS：1A表示一個數字是相同，另三個所選的數字絕不會是答案。10個數字去除1個相同及3個不可能的數字，只剩下6個數字可選，所以數字的排列組合去掉1A後有C(6,1) x C(5,1) x C(4,1) = 6 x 5 x 4 = 120組可能。過來是考慮1A排列位置問題，因為1A的關係，此A可能在第一到第四位數共4種可能。所以全部的可能組合是120 x 4 = 480種組合"

上面敘述裡的畫線部分與我的理解有衝突:我以為應是屏除掉三個正確數字，4取1個正確數字 C(4,1)，後乘上6無關數字取3 C(6,3)
成C(4,1)C(6,3)80組可能 <--請問我的盲點在哪裡呢?

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分子:錯排(abcd四位數a不在1 b不在2 c不在3 d不在4的方法數)

你的做法少了把無關數字進行排列的動作
所以要乘以3!

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謝謝你的講解∼不過關於分子的部分，可以麻煩你可以拆解詳說嗎？因為我實在看不太懂式子...麻煩你了!!

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先從3位數來講比較好理解

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2018-9-23 22:17

4位數依此類推

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原來如此，謝謝你!

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從1~9中任選4個數字(不重複)構成四位數(正確答案)，問4B的機率為何?(A:數字對且位置對 ;B:數字對但位置不對)
答案是  (4!-4x3!+6x2!-4x1!+0!)/ (9x8x7x6) =1/336
四個位置各抓一個數字，總共 4!，這是全部
畫四個圈PQRST，表示四個位置是A還是B
位置對了(A)，在圈內
位置不對(B)，在圈外
這題是問 4B，所以就是計算四個圈外的數量多少
先來想在P圈內的數量
圈內代表P位置是對的(A)，QRS 隨便，不理位置對錯(AB均可)
有多少個 ? P只有 1 個，QRS 3! 個，所以一共 3!
同理 QRS，每個也都是 3! 個
所以 PQRS 一共 4*3!
但是 P∩Q，P∩R，P∩S，Q∩R，Q∩S，R∩S，這些都會被重複計算
P∩Q 的區域，P讓它+1，Q也讓它+1，結果它+2
它應該只能被+1，要-1才對
我們要來統計一下
一開始 P Q R S +1 ，一共 4*3!
這同時造成
P∩Q +2，P∩R +2，P∩S +2，…
P∩Q∩R +3，P∩Q∩S +3，…
P∩Q∩R∩S +4
我們要把P∩Q，P∩R，P∩S，…  弄成 1
所以要對P∩Q，P∩R，P∩S，… -1，這有C4取2*2! 個 (-1)
C4取2 是 PQRS取其中兩個，也就是 X∩Y 這個型態的量
X∩Y 表示 XY 位置對，其它隨便，每個 X∩Y 數量就是1*1*2!
所以總共 (-1)*C4取2*2! = -6*2!
這同時造成
P∩Q 2-1，P∩R 2-1，P∩S 2-1，…
P∩Q∩R 3-3，P∩Q∩S 3-3，…
P∩Q∩R∩S 4-6
舉例 P∩Q∩R 原本3
但 P∩Q -1 P∩R -1 Q∩R -1，所以又 -3
舉例 P∩Q∩R∩S 原本4
但 P∩Q -1 P∩R -1 P∩S -1，
Q∩R -1 Q∩S -1 R∩S -1，所以又 -6
現在變成
P∩Q 1，P∩R 1，P∩S 1，…(這條沒問題了)
P∩Q∩R 0，P∩Q∩S 0，…(現在弄這條，要弄成 1)
P∩Q∩R∩S -2
0要變1，要對它 +1
也就是要對 P∩Q∩R +1，P∩Q∩S +1，P∩R∩S +1，Q∩R∩S +1
X∩Y∩Z 這個型態有 4 個(就是上面列的)
每個表示 X，Y，Z，對的，剩的隨便，1*1*1*1
所以總共是(+1)*4*1 = +4*1!
這時
P∩Q 1，P∩R 1，P∩S 1，…(不變)
P∩Q∩R 0+1，P∩Q∩S 0+1，…(這條 ok 了)
P∩Q∩R∩S -2+4 (最後弄這條)
P∩Q∩R∩S 為什麼 +4 ?
因為P∩Q∩R +1 ，它就也跟著 +1
然後P∩Q∩S +1，P∩R∩S +1，Q∩R∩S +1
它都跟著加，所以一共 +4
現在變成
P∩Q 1，P∩R 1，P∩S 1，…(不變)
P∩Q∩R 1，P∩Q∩S 1，…(這條 ok 了)
P∩Q∩R∩S 2 (這個要讓它變 1)
最後再 P∩Q∩R∩S -1 就完工了
X∩Y∩Z∩W 這種形態只有 P∩Q∩R∩S 一個
然後 P∩Q∩R∩S 表示四個位置都要對，也只有一個
(-1)*1*1 = -1*0!
這時，PQRS 圈內全部都 1 了
數量就是 4*3!-6*2!+4*1!-1*0!
題目要問的是四個圈之外的(4B)
這上面計算的是至少在某個圈內的(至少一個 A 的)
所以要總數(不管位置對不對) 4! - 上面計算的
所以就變成 4!-(4*3!-6*2!+4*1!-1*0!)
其實這個是有規律的
係數 1 -4 6 -4 1 ，後面是 4! 3! 2! 1! 0!，然後做乘加

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這題用數的不會比較差
比方PQRS 的答案是 1234
第一個 P ，就只能選 234 三個 (不能對)
比方說選 3 ，第二個就去 R 選 124
3已經被選走了，所以 R 必錯，這時要分兩種情況
一個是選 1 (因為 P 已經選3了，這是情況一)
另一類是選 24 ，(QS 都還沒選，這是情況二)
選 1 的話，剩的QS要都錯，只能對調選
選 24 的話，比方選 4，接下來就去 S 選 12，但也只能選 2
因為 選 1 的話，T只剩 2，這不行
分析完了就列式
3(P有三個)*(1*1(情況一) + 2*1 (情況2))
= 3*3 = 9
用數的也不錯

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謝謝冰老師這麼詳細的解說!!