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用能量守恆看的話
平衡點在彈力 = 2mg
此時距離原長為 2mg/k 的位置
往下拉 x 後，總能量 (彈+動+位)
(1/2)k(2mg/k+x)² + 0 + 0
彈到平衡點時，總能量 (彈+動+位)
(1/2)k(2mg/k)² + (1/2)mv² + mg(2x)
能量守恆
(1/2)k(2mg/k+x)² + 0 + 0 = (1/2)k(2mg/k)² + (1/2)mv² + mg(2x)
(1/2)k [(2mg/k+x)² - (2mg/k)²] - mg(2x) = (1/2)mv²
(1/2)k (4mg/k + x)(x) - mg(2x) = (1/2)mv²
2mgx + (1/2)kx² - mg(2x) = (1/2)mv²
kx² = mv²
v = x√(k/m)
T = 2pi/w = 2pi(2x)/v = 4pi√(m/k)
用力來看的話
往下拉 x 後，彈力 = 2mg + kx
方塊受繩力向上 (2mg + kx)/2，重力向下 mg
所以方塊受力總和 = kx/2 向上
方塊也是做簡諧運動
F = mw²(2x)
kx/2 = mw²(2x)
w² = k/m/4
w = (1/2)√(k/m)
T = 2 pi / w = 4pi√(m/k)
還有一個有趣的想法
把滑輪和原彈簧，用另一個彈簧等效
既然是等效，當然方塊的運動軌跡是一樣的
因為大家都是簡諧運動，所以能等效
新的彈簧 k' 和 原本彈簧 k 的關係
原本的 F = k x滑輪的特性
(右下)新的施力只要(上面) F 的一半 ，而(右下)伸長量又是原本(上面)的 2 倍
(1/2)F = k' (2x)
k' = k/4
新的彈簧和重物就是一個簡單的彈簧在彈
k'x = mw²x
kx/4 = mw²x
w² = k/m/4
T = 2pi/w = 4pi√(m/k) |
