[【學科】] 【數學】機率

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投擲三顆公正骰子，在至少出現一顆點數為4的條件下，三顆點數和為奇數的機率為何？

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三顆骰子是獨立的  可以編號來排列觀察

擲6*6*6=216次  平均會有216-5*5*5=91次出現4點

奇數情形a  4+奇(1,3,5)+偶(2,6)  有3!*3*2=36種

奇數情形b  4+4+奇(1,3,5)  有(3!/2!)*3=9種

(36+9)/91=45/91…ans

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布袋兄厲害呀
我解釋一下這想法和算法好了
題目
「投擲三顆公正骰子，在至少出現一顆點數為4的條件下，三顆點數和為奇數的機率為何？」
這是條件機率
其機率 = 符合所有條件 / 符合已知條件
= 至少一顆4點且點數和為奇數的機率 / 至少一顆4點的機率
= 至少一顆4點且點數和為奇數的可能數 / 至少一顆4點的可能數，且每個可能數的機率一樣
三個骰子是獨立的，每個可能數的機率一樣是 OK 的
A4B4C6 和 A2B3C4 和 A6B4C4…。機率都一樣
所以布袋兄的想法都是正確的

這題就變成去計算
1. ABC三個骰子至少一顆4點的可能數
2. ABC三個骰子至少一顆4點且點數和為奇數的可能數

至少一顆4點，這個直接算不好算
因為當假設 A4 的時候，BC 有 6*6=36 可能
當假設 B4 的時候，AC 有 6*6=36 可能
但這樣的話
A4B4C? 這種情況，就被重複計算了
假設 A4 的時候，BC 有 6*6=36 可能，A4B4C1 為其中一種
假設 B4 的時候，AC 有 6*6=36 可能，A4B4C1 為其中一種
但 A4B4C1 只是一種，卻被這兩類給當成兩個了
36*3 = 108，這是錯的
比方好的計算方式，就如布袋兄寫的
至少一顆4點 = 全部 - 完全沒有4點的
= 216 - 5*5*5 = 91
如果硬要用4點去計算，也不是不行，但容易錯
你畫三個圓，互有重疊
有圓沒重疊的三個，有兩圓重疊的三個，三圓重疊的一個
目標是圓沒重疊的、兩圓重疊的，三圓重疊的都被計算一次
單一圓是 36 ，然後三個單一圓就 108
這 108 ，會讓兩圓重疊的地方計算兩次
三圓重疊的地方計算三次
然後，你就要扣掉兩圓重疊的地方一次
這樣兩圓重疊只被計算一次，就對了
兩圓重疊的地方三個，每個 6，6*3 = 18
所以 108 - 18 = 90
但扣掉兩圓重疊，三圓重疊也一樣被扣了
扣掉三個兩圓重疊，三圓重疊扣掉了三次
一開始三圓重疊計算了三次，現在又扣掉三次
所以要加一次回去，所以最後再加上 1
90+1=91，這可以算，但這樣算，既不快也容易錯

再來最後就是計算這 91 次(至少有一個4點)
裡面有多少個奇數，或有多少個偶數
算奇數比較容易，偶數多一個討論，444是偶數
奇數的話，討論兩種就好了
4，非4偶，奇數
3! * 1 * 2 * 3 = 36
4，4，奇數
3!/2! * 1 * 1 * 3 = 9
偶數的話
4，奇，奇
3!/2! * 1 * 3 * 3 = 27
4，非4偶，非4偶
3!/2! * 1 * 2 * 2 = 12
4，4，非4偶
3!/2! * 1 * 1 * 2 = 6
4，4，4
用數的就能得到 1 (3!/3!*1*1*1 也可以)
要會這個分類怎麼列
題目訂出了4，所以4是其中一個項目
(4 ，偶數)，本身就會產生重複計算，而且不一致
例如
A4B4，A4B偶取一次，A偶B4又取一次，重複
A4B2，A4B偶一次，沒有重複
乾脆把這情況直接在項目上就去區分開
所以 (4，偶數)改成(4 ，4)和(4，非4偶數)
奇數本身也直接就是一個項目
也許會想，4，奇，奇，這兩個(奇奇)也會重複數到呀
但前面 3!/2!，這個/2!，就是解決重複問題
奇奇是每一個可能都是被計算到2次
A3B3，A奇1 B奇2取一次，A奇2 B奇1又取一次
A3B1，A奇1 B奇2取一次，A奇2 B奇1又取一次
要嘛 AB 放奇數時對調可能要 /2! (3!/2!是用這個思維)
要嘛 AB 可任意放奇1奇2，然後重複要 /2!

驗算的話，總和奇數 45，總和偶數 46，一共 91
布袋兄寫的都正確

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補充:3個骰子點數和的分布恰為的係數分布
1 3 6 10 15 21 25 27 27 25 21 15 10 6 3 1由左而右依序為3點~18點