[【學科】] 【高一數學】三角函數

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有關一些高1數學的問題一直不解阿...
不知不覺頭髮白了幾根
三角函數都只教30度.45度.60度而已OAO
請各位幫忙解一下唄QQ

請問--------
(三角函數的值)
sin37度=?
cos37度=?
tan37度=?

sin53度=?
cos53度=?
tan53度=?

sin90度=?
cos90度=?
tan90度=?

39475494

圖解

下載 (10.59 KB)

2016-1-29 18:51

44671905

然後相似三角形 1 : a : a²
a² = 1 + a

這邊可以圖解嗎?

39475494

嗯
36° 72° 72° (1 : a : a)
然後72°再做角平分線 36° 36°
然後相似三角形 1 : a : a²
a² = 1 + a
a = (-1+√5)/2
cos18° = sin72° = (-1+√5)/2 / (1/2) = (√5-1)/4
好像也蠻快的

22169751

我有背到15°的
因為題目還蠻常出現的
18°的證明可以從畫一個等腰三角形(腰72°)
內再接一個等腰三角形證得

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對了
還有第四類
常用的直角三角形邊長比
這個只有 3 : 4 : 5
角度大約 37° 53° 90° (近似值)
只能這個當常識吧

如果問 5 : 12 : 13 幾度 ? 我也不知道 ...

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很多人給你"答案"
其實，你要知道什麼角，他的 sin cos 怎麼來的 ...

首先，你要搞懂一些轉換的問題
n 為整數 , pi = 3.14159.... = 180°
最源頭：sin = y/r , cos = x/r , tan = y/x
大小來看的話
|sinθ| = |sin(180°±θ)| = |sinθ(360°±θ)| = |sin(npi±θ)|
|cosθ| = |cos(180°±θ)| = |cos(360°±θ)| = |cos(npi±θ)|
|sinθ| = |cos(90°±θ)|
正負來看的話
x 是右半平面為正，左半平面為負
y 是上半平面為正，下半平面為負
r 是恆為正
sin = y/r
所以上半平面 (0 < θ < 180) 時，sinθ > 0
下半面面 (180 < θ < 360) 時，sinθ < 0
cos = x/r , tan = y/x ，一樣方式自己想
不用背，常想，三秒內可以得到結論的
所以比方 sin(-22°) = cos(248°)，別覺得奇怪
因為，從大小來看 |sin(-22°)| = |sin(22°)| = |cos(68°)| = |cos(248°)|
從正負來看 sin(-22°) 第四象限 , y 是負的 , sin(-22°) < 0
cos(242°) 第三象限 , x 是負的 , cos(242°) < 0
兩者，大小一樣，正負一樣，所以 sin(-22°) = cos(248°)
再來，分類

第一類
0° 90° 180° 270°
這種，用上面定義的列式，很快就知道答案了
sin = y/r , cos = x/r , tan = y/x
0° : x=r , y=0 → sin0° = 0 , cos0° = 1 , tan0° = 0
90° : x=0 , y=r → sin90° = 1 , cos90° = 0 , tan90° = 無意義
180° : x=-r , y=0 → sin180° = 0 , cos180° = -1 , tan180° = 0
270° : x=0 , y=-r → sin0° = -1 , cos0° = 0 , tan0° = 無意義
不用背。背了而沒理解，會害死你

第二類，基本圖解(幾何)就能証明的
30° 60° 90°
畫一條線輔助線，將直角分成30° 和 60°，然後証明該線會畫到斜邊中點
然後， 1 : 2 就出來了， √3 也就出來了 → 1 : 2 : √3
sin30° = 1/2 其他自己算
45° 45° 90°
這更快，等腰直角， 1 : 1 就出來了，√2 也就出來了 1 : 1 : √2

第三類
要從第二類推的
15°
30° 60° 90° 的 30° 角，往外再畫一個等腰(兩個 15°)三角形
y : x = 1 : (√3 + 2) 就出來了
斜邊² = 1 + (√3 + 2)² = (2√3 + 8) = (√2 + √6)
1 : (2+√3) : (√2 + √6)
18°
這是用二倍角和三倍可以解的
sin36° = cos (54°)
sin(2*18°) = cos (3*18°)
2sin18°cos18° = 4cos³18° - 3cos18°
2sin18° = 4cos²18° - 3 = 4 - 4sin²18° - 3 = 1 - 4sin²18°
4sin²18° + 2sin18° - 1 = 0
sin18° = [-2±√(4+16)]/(2*4) = (-2±2√5)/8 = (-1±√5)/4
sin18° > 0 (負不合)
sin18° = (-1+√5)/4 → y : r = (√5-1) : 4
x² = 16 - (√5-1)² = 10+2√5
→ (√5-1) : 4 : √(10+2√5)
18°，甚至 36° 都解了
18° 系列本身就能當考題了，背了只是對選擇題或驗算有用
基本上，我連 15° 都沒背，不過可以二十秒內把值導出來
18° 要久一點

(有些心裡的話)
我看過不少背一堆公式，最後只會亂代公式的人
公式久了就背錯
比方二次曲線的頂點，他給我背 ( -b/(2a), (b²-4ac)/4a )
我說我確定 -b/(2a) 對，但後面那團我不確定
後來想算了，我導一下
y = a[-b/(2a)]² + b[-b/(2a)] + c
= b²/(4a) - b²/(2a) + c
= (-b²+4ac)/(4a)
他正負錯了，背一堆，過個幾年公式誰記得住 ?
更不用說公式的情境和細節有沒有用錯
學數學要少記，多想，多領悟道理和情境
對了，我確定 -b/(2a) 對，因為我有背 ?
不是
我有背的是 [-b±√(b²-4ac)]/(2a) ← 這個太重要了，而且我會証 (用完全平方去移項)
頂點的 x 值，在y = 0 的根 (和 x 軸 的交點) 的中點
所以±√(xxxx) 消掉了，剩 -b/(2a)
這些都是道理，要學的是這些
這只是一個前幾天發生的例子，那個背公式的人是我親戚

43892991

謝謝各位˙ ˙

22169751

Sin15°=
Cos15°=
tan15°=2-√3
Sin18°=
Sin36°=
Sin54°=
Sin72°=

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回復 1# 43892991

有一些常用的數值就記起來吧 !

	sin	cos	tan	cot	sec	csc
0度	0	1	0	無意義	1	無意義
30度	下載 (171 Bytes) 2016-1-26 07:16	下載 (270 Bytes) 2016-1-26 07:19	下載 (266 Bytes) 2016-1-26 07:19	下載 (205 Bytes) 2016-1-26 07:17	下載 (321 Bytes) 2016-1-26 07:19	2
45度	下載 (261 Bytes) 2016-1-26 07:18	下載 (261 Bytes) 2016-1-26 07:21	1	1	下載 (203 Bytes) 2016-1-26 07:17	下載 (203 Bytes) 2016-1-26 07:21
60度	下載 (270 Bytes) 2016-1-26 07:20	下載 (171 Bytes) 2016-1-26 07:20	下載 (205 Bytes) 2016-1-26 07:20	下載 (266 Bytes) 2016-1-26 07:22	2	下載 (321 Bytes) 2016-1-26 07:22
90度	1	0	無意義	0	無意義	1