lim x->1
翻成中文，(極限) x 趨近於1
講白話一點，就是 x 非常非常非常接近 1，但實際上 x ≠ 1。
舉個例子
lim x->1 (x+2)/(x+3)
x 非常接近 1 時，(x+2)/(x+3) 非常接近 (1+2)/(1+3) = 3/4
這裡的非常接近，在實值上就是等於
所以最後可以寫 lim x->1 (x+2)/(x+3) = 3/4
再舉個例子
lim x->1 (x+2)/(x-1)
x 非常接近 1 時，(x+2)/(x-1) 的分母 x-1 趨近於 0
而分子 x+2 則趨近於 1+2 = 3
而一個趨近於 3 的數，去除以一個趨近於 0 的數
結果會是正負未知的無窮大數，即可視為不存在。
這裡順便可以回答樓主的問題，
如果，a*根號(x+1)-b 不趨近於 0，就會像這個例子一樣
x 非常接近 1 時，分子並不趨近於 0，
而分母 x-1 卻趨近於 0。
其結果會是不存在，而不會如題目給的，等於 1。
再舉個例子，
lim x->1 (x²-1)/(x-1)
x 非常接近 1 時，(x²-1)/(x-1) 的分母 x-1 趨近於 0，
而分子 x²-1 也趨近於 0。
這時，一個趨近於 0 的數，去除以一個趨近於 0 的數
這結果是無法直接看出來的(要再經過處理才行)。
這裡有一件事要強調，
趨近於 0 除以趨近於 0 ，並不是 0/0 ，所以不能當無意義來看唷。
分子的 (x² -1) = (x+1)(x-1)
然後可以和分母的 x-1 相消 (兩個值相等)
原式 = lim x->1 (x+1) = 2 就解出來了。
所以，如果 lim 遇到 (趨近 0) / (趨近 0) 的時候
要透過一些計算處理，才能得到答案。
另外，(趨近∞) / (趨近∞) 或 (趨近∞)*(趨近 0)也是一樣。 |
