39475494

S : x² + 9y² = 9
x≥0 , y≥0 , 0≤z≤5
這個曲面，投影到 xy平面，就是一個橢圓弧線段
線段的兩端點在 (3,0,0) (0,1,0)，注意唷，是線段

投影到yz平面，就是一個長方塊(面)
長方塊的四個點在 (0,0,0)(0,1,0)(0,1,5)(0,0,5)

投影到zx平面，也是一個長方塊(面)
長方形的四個點在 (0,0,0)(3,0,0)(3,0,5)(0,0,5)

39475494

上述我自然是瞭解~
但這問題也不是二維而是三維
我的問題是投影到xy平面 是由z方向投影 z與xy垂直所以Θ=90
但若由y方向投影到xz平面 y與xz 方向也是垂直 ...
44671905 發表於 2015-6-10 07:51

你的觀念很亂，不然就是語言有問題，你是香港或是馬來西亞的人嗎 ? 看起來也不太像呀
z軸就是線，z方向，麻煩寫方向，不然寫 k 也行
「S在z軸」，就算把z軸當方向，S也不會在z方向呀

投影就是垂直落下來
投影到xy面，就是將S上的每一個點，都投垂直落到 xy 平面上
投影過程的方向是±k 沒錯，不管哪個點，投影到xy，都是±k在移
90°是指 S 和 xy平面，是垂直的，不關 z 軸的事
然而， S 和 yz 或 zx 可不是垂直的呀

44671905

上述我自然是瞭解~
但這問題也不是二維而是三維
我的問題是投影到xy平面 是由z方向投影 z與xy垂直所以Θ=90
但若由y方向投影到xz平面 y與xz 方向也是垂直

39475494

冰語的回覆 大部份我都看的懂 但s與xy垂直這部分我比較不懂

難道s在z軸 我以與xy平面垂直??
35664048 發表於 2015-6-10 06:41

s在z軸? 差點跪了
S是曲面呀，z軸只是一條直線，二維的東西怎麼會在一維上 ?
你不是寫了，圖形是1/4橢圓，不會是以為只是一個圈吧 ?
S : x² + 9y² = 9，那 z 呢 ? 沒寫就表示任意，都允許
(3, 0, -10) (3, 0, 0) (3, 0, 1) (3, 0, 10000) 都在 S 上
S 像是一根橢圓吸管立在xy平面上
z 軸 是那根吸管內部(中空)的中心線
當然上加了 x≥0 , y≥0 , 0≤z≤5 條件
就像這根吸管被剪四刀，變成一個弧面了
投影到 xy 是一條弧線

35664048

冰語的回覆 大部份我都看的懂 但s與xy垂直這部分我比較不懂

難道s在z軸 我以與xy平面垂直??

22169751

噗 若我當真國二  會解這種問題 應該可以跳個五~六級吧
我已經大學畢業了 ...

但當初學校 對工數這科 只挑幾章教 所以我在自學沒教到的部分
35664048 發表於 2015-6-9 00:35

我的錯  
太多人用這頭像
害我搞混

39475494

φ=x^2+9y^2-9   ▽φ=2x+18y    n= ▽φ / |▽φ dot i| =1+9y/x
∫∫ F.nd A=  ∫∫ y^3+9x^2y dydz = ∫∫ y^3-9y(9-9y^2dydz  
∫∫ 80y^3-81ydydz   ∫∫ 20y^4-81/2y^2dydz
y :1~0 z:5~0  
ans :205/2 ...

S : x² + 9y² = 9
φ=x²+9y²-9 , ▽φ=2x i + 18y j
n= ▽φ / |▽φ dot i| =i + (9y/x)j
∫∫ F．n dA =  ∫∫ y³ + 9x²y dydz = ∫∫ y³ + 9y(9-9y²)dydz  
= ∫∫ -80y³+81ydydz  =  ∫ [(-20)y^4 + (81/2)y²] |(0 ~ 1)  dz
= (41/2) z | (0~5)
= 205/2

過程有點小錯，注意 ▽φ 和 n 是向量，∫∫ F．n dA  這是內積符號
題目有再改過 ?

44671905

φ=x^2+9y^2-9   ▽φ=2x+18y    n= ▽φ / |▽φ dot i| =1+9y/x
∫∫ F.nd A=  ∫∫ y^3+9x^2y dydz = ∫∫ y^3-9y(9-9y^2dydz  
∫∫ 80y^3-81ydydz   ∫∫ 20y^4-81/2y^2dydz
y :1~0 z:5~0  
ans :205/2

39475494

不過說真的，你的根紮的不太夠
你之前的問題，題目本身就有一些問題
而你沒看出來，表示你的概念模模糊糊的

對了，這題答案多少呀 ?

39475494

噗 若我當真國二  會解這種問題 應該可以跳個五~六級吧
我已經大學畢業了 ...

但當初學校 對工數這科 只挑幾章教 所以我在自學沒教到的部分
35664048 發表於 2015-6-9 00:35

國二能問這些，我第一個感覺就是裝逼的小孩
很多學校都只挑幾章教，因為課堂的時間不夠，老師又不一定說的出一番數學的道理
7# 他應該是被圖像搞錯人吧
以前網站的內定圖像不是這張

dA 是 S 曲面上切成的一小格一小格的小面積，因為太小了，可以當成是平的來看
    (看到d 應該知道這是趨近0的面積)
n 是 dA 的法線的單位向量
    (每個dA 的法線都不一定相同，所以 n 的結果要看dA的座標)
    (法線是指它和面積 dA 垂直，單位向量是指它是一個向量，且長度 = 1)
ndA = ▽φ dydz / |▽φ dot i| 這是投影到 yz 平面的算法
先看這個 ▽φ
這是梯度，這個算出來是一個向量，這個向量和 n 是一樣的方向
而大小則和 φ 受 x,y,z 的變化產生的變化幅度有關 (相當於φ 對應 x,y,z 三個變數時的斜率)
所以，n = ▽φ / |▽φ|

dA 和 dydz 的關係
dydz 是 dA 投影到 yz 平面後的面
所以 dydz = dA * cosΘ ，Θ是兩平面的夾角
dydz 的單位法線向量是 i ，所以 Θ 的夾角同樣是 n 和 i 的夾角
也因此，Θ 的夾角同樣也是 ▽φ 和 i 的夾角
▽φ dot i = |▽φ||i|cosΘ = |▽φ|cosΘ
cosΘ = (▽φ dot i) / |▽φ|
dxdy = dA  * cosΘ
dA = dxdy/cosΘ

最後來看 ndA
ndA = (▽φ / |▽φ|) * (dxdy/cosΘ)
= (▽φ / |▽φ|)/cosΘ * dxdy
= (▽φ / |▽φ|)/[(▽φ dot i ) / |▽φ|] * dxdy
= (▽φ / ▽φ dot i )* dxdy

簡單講就是dA → * cosΘ → dxdy
而 n = ▽φ/|▽φ| → /cosΘ → ▽φ / (|▽φ|cosΘ) = (▽φ / ▽φ dot i )
最後 ▽φ dot i 加絕對值，是因為和 dA 垂直的法線向量，有正負兩頭
而習慣上 取 n 的向量時，會取向外為正
這裡在計算時可以多加判斷一下

整個過程，除了cosΘ不能為 0 外，沒有其他可不可以投影到哪個平面的問題
像你這題，就不能投影到 xy ，因為S 和 xy 是垂值的 ，cos90° = 0