【數學】AMC10

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將數1,2,3,4,5隨機排列在一個圓上，若對「從1到15的任何一個正整數n而言，都能夠在圓上找到位置相鄰的若干數字(包含只有一個)使得它們的和為n」的敘述不成立，則稱此數列為「不好的」的排列，若兩個排列經過翻轉或旋轉相同的話，則視為同一排列，請問有多少不同的「不好的」排列?

(答案為1~5種其中之一)



在一小池塘裡有11棵荷葉排成一列，在其上貼上0~10的標籤，當青蛙在N號荷葉上(0<N<10)時，他跳到(N-1)號的荷葉的機率為N/10 ，跳到(N+1)號的荷葉機率為 1-(N/10)。每一次跳躍與前一次跳躍是獨立。若青蛙到達0號荷葉上得時候，它會被一隻耐心等候的蛇吃掉，若青蛙到達10號荷葉得時候，他會離開池塘不會再回來。若一隻青蛙一開始在1號荷葉上面，請問這隻青蛙會逃離而不被吃掉的機率為何?

(A)32/79  (B)161/384  (C)63/146   (D)7/16  (E)1/2

這一題是完全沒有頭緒，不知道從何下手

39475494

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求問AMC的解析
29818776 發表於 2014-3-9 15:34

N1 = 0.9N2
N2 = 0.2N1 + 0.8N3
N3 = 0.3N2 + 0.7N4
N4 = 0.4N3 + 0.6N5
N5 = 0.5

首先，你要先知道(想清楚) 這個題目的情境
青蛙在 0 號 會被吃掉，在 10 號會跑掉，這兩個荷葉是結束(洞)
而且青蛙在荷葉之間跳動的機率是穩定的，不會變 0
所以，隨著時間，青蛙最後只可能到 0 號 或 10 號 ，而中間的 1~9 號只是過程(暫態)

再來 Nx 的定義，青蛙目前在第 x 號(1~9)荷葉上，經過無限久的時間之後，他到 10 號結束的機率
題目問的是青蛙一開始在 1 號荷葉，牠最後逃離而不被吃掉的機率，也就是在算 N1

再來，看一下青蛙在荷葉之間跳動的機率
1→0 是 1/10 ， 1→2 是 9/10
2→1 是 2/10 ， 2→3 是 8/10
…
8→9 是 2/10 ， 8→7 是 8/10
9→10 是 1/10 ， 9→8 是 9/10
這個跳動的機率是左右對稱的
所以，最中間的荷葉第 5 號，經過無限長時間後，死掉(0)，或活著離開(10)的機率是一樣的，各 0.5
即 N5 = 0.5

最後，如果目前在 3 號
一跳之後， 3 → 2 機率是 3/10 ， 3 →4 機率是 7/10
所以，目前在 3 號，無限長時間後活著逃出的機率
= 3/10 * 目前在 2 號無限長時間後活著逃出的機率 + 7/10 * 目前在 4號無限長時間活著逃出的機率
也就是N3 = 0.3N2 + 0.7N4
其他依此類推

最後解四元聯立

29818776

12#
求問AMC的解析

39475494

是lim嗎？微分？
是說無限趨近？
23076964 發表於 2014-3-7 14:30

lim t->∞ 這個
我是指第二題呀
在時間無窮大(無限久之後)，各葉片轉移的問題
一般習慣的思考角度是我現在(瞬間或不具時間變化下)什麼情況的情境
很少習慣去想整個情況隨時間的總變化以及時間無窮大後的情況

23076964

如網址所述
「AMC10的主要目的是在刺激學生對數學的興趣並且透過以選擇題方式來開發學生對數學的才能；測驗題型範圍由容易到困難」
嗯，不是一般的考題，這樣就說的通了
不過這第二題，高一生又沒特意做過類似題目 ...
39475494 發表於 2014-3-7 10:24

是lim嗎？微分？
是說無限趨近？

39475494

沒有公佈答案嗎？
23076964 發表於 2014-3-6 16:59

我解的答案，應該沒錯
第二題樓主有公佈答案(和我的答案一樣)

39475494

http://www.99cef.org.tw/amc.php這是AMC競賽的網頁
也是一個很不錯的檢定
23076964 發表於 2014-3-6 17:03

如網址所述
「AMC10的主要目的是在刺激學生對數學的興趣並且透過以選擇題方式來開發學生對數學的才能；測驗題型範圍由容易到困難」
嗯，不是一般的考題，這樣就說的通了
不過這第二題，高一生又沒特意做過類似題目的人
應該幾乎是答不出來的

「能夠洞察數學的知識並且能迅速作出計算是很優秀的才能」
像這第二題，就如同我所說的
這種考試是選拔天才型資優生的嗎 ?
( 這對情境的敏感度要很高才有機會解出來)

至於「測驗的題型都不會超過學生的學習範」
這就 ... ，解四元聯立是沒超出，但列式的想法超出呀
說真的，高一，對 ∞ 的想法是很弱的， limit 也沒學過

39475494

我也有去考AMC10耶XDD 這兩題也令我苦惱- -
29818776 發表於 2014-3-6 15:14

所以這兩題是考題裡面偏難的題目囉 ?
第一題還好，如果會數就行了
第二題的話，25題七十五分鐘寫
一題三分鐘，我的話就直接跳過這題，如果寫完還有時間再來玩

23076964

我沒有懷疑樓主所說的高一考題
第一題可以暴力解
就算我沒學過機率，我也數的出來，這有可能的
但第二題是刻意刁難的題目
那題用到的概念不是矩陣+機率而已
也不是暴力解能解的開的
等你們高三了再回來看這題，就會 ...
39475494 發表於 2014-2-28 12:40

http://www.99cef.org.tw/amc.php這是AMC競賽的網頁
也是一個很不錯的檢定

23076964

沒有公佈答案嗎？