[【學科】] 【數學】級數與積分

本帖最後由 22169751 於 2024-1-31 04:27 編輯

$\lim_{n \to \infty} ( \frac{1}{\sqrt{4n^{2}+1 } }+ \frac{1}{\sqrt{4n^{2}+3 } }+......+\frac{1}{\sqrt{4n^{2}+(2n-1)^{2} } })$

A: $\frac { 1 }{ 2 } \ln { (\sqrt { 2 } +1) }$

解:
原式
$=\lim_{n \to \infty}\frac { 1 }{ 2 } \bullet \frac { 2 }{ n }(\frac{1}{ \sqrt{4+( \frac{1}{n} ) ^{2}} } +\frac{1}{ \sqrt{4+( \frac{3}{n} ) ^{2}} } +......+ \frac{1}{ \sqrt{4+( \frac{2n-1}{n} ) ^{2}} } )$
$=\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 0 }^{ 2 }\frac { 1 }{ \sqrt { 4+x^{ 2 } }dx } =\frac { 1 }{ 2 } \ln { (\sqrt { 2 } +1) }$
問:
$=\lim_{n \to \infty}\frac { 1 }{ 2 } \bullet \frac { 2 }{ n }(\frac{1}{ \sqrt{4+( \frac{1}{n} ) ^{2}} } +\frac{1}{ \sqrt{4+( \frac{3}{n} ) ^{2}} } +......+ \frac{1}{ \sqrt{4+( \frac{2n-1}{n} ) ^{2}} } )$
怎麼轉成 $\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 0 }^{ 2 }\frac { 1 }{ \sqrt { 4+x^{ 2 } }dx }$ 的

按照 $\int _{ 0 }^{ 2 }\frac { 1 }{ \sqrt { 4+x^{ 2 } }dx }$ =lim上和=lim下和來看的話

上和= $\lim_{n \to \infty} \frac { 2 }{ n } (\frac { 1 }{ \sqrt { 4 } } +\frac{1}{ \sqrt{4+( \frac{2}{n} ) ^{2}} } +......+ \frac{1}{ \sqrt{4+( \frac{2n-2}{n} ) ^{2}} } )$

下和= $\lim_{n \to \infty}\frac { 2 }{ n } (\frac{1}{ \sqrt{4+( \frac{2}{n} ) ^{2}} }+......+\frac{1}{ \sqrt{4+( \frac{2n-2}{n} ) ^{2}} } +\frac {1}{ \sqrt { 4+ 2^{ 2 } } })$

星之城
EE

淘米Lv2會員

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3^#

22169751發表於 2018-8-8 14:26 | 只看該作者

原來是夾擠定理

星之城
EE

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實習生

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2^#

39475494發表於 2018-8-8 13:23 | 只看該作者

當你切成無數條再總和(積)時 (n→∞ and dx)
上和、下和的值就會相等
其實不止是上和或下和，介於之間的都會相等
單看那個分母√裡面的平方項裡面的東西
0 <= 1/n <= 2/n
2/n <= 3/n <= 4/n
...
(2n-2)/n <= (2n-1)/n <= 2
那個是介於上下和之間的函式

功夫派~ 冰語

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