【數學】複數的三角不等式證明(已解決)

46733194

證明
|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|

其中z1, z2 皆為複數


請問我應該怎麼下手
以下開放討論

39475494

證明
|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|
其中z1, z2 皆為複數
請問我應該怎麼下手
以下開放討論
46733194 發表於 2014-10-15 03:14

在複數平面上畫出圖來
這只是三角形兩邊長之和大於等於第三邊而已

46733194

首先畫圖不代表證明
就實數而言是這樣沒錯
但是應該怎麼去討論

我一剛開始的想法是兩邊同時平方
但是做到一半就卡住了!!

34952281

1# 46733194

在複數平面上,令A(z1) , B(z2) , O(0)
=> AB=|z1-z2| , OA=|z1| , OB=|z2|

利用三角形任意兩邊的和大於第三邊
=> AB ≤ OA + OB
=> |z1-z2| ≤ |z1| + |z2|

同理可證
=>|z1+z2| = |z1-(-z2)| ≤ |z1| + |-z2| = |z1| + |z2|

46733194

1# 46733194

在複數平面上,令A(z1) , B(z2) , O(0)
=> AB=|z1-z2| , OA=|z1| , OB=|z2|

利用三角形任意兩邊的和大於第三邊
=> AB ≤ OA + OB
=> |z1-z2| ≤ |z1| + |z2|

同理可證
=>|z1+z2| = |z1-(-z2)| ≤ |z ...
34952281 發表於 2014-10-15 16:36

要是那麼簡單就好了!

39475494

首先畫圖不代表證明
就實數而言是這樣沒錯
但是應該怎麼去討論

我一剛開始的想法是兩邊同時平方
但是做到一半就卡住了!!
46733194 發表於 2014-10-15 11:12

畫圖為什麼不能代表証明呢 ?
這不是實數而已唷，這畫的是複數平面呀

不然這樣証好了
令 z1 = a+bi , z2 = c+di
|z1|² = a²+b² , |z2|² = c²+d²
|z1+z2|² = (a+c)²+(b+d)² = a²+2ac+c² + b²+2bd+d²
= |z1|² + |z2|²+ 2(ac+bd)
<= |z1|² + |z2|²+ 2(√(a²+b²)√(c²+d²))  (柯西不等式)
= |z1|² + |z2|²+ 2(|z1||z2|)
= (|z1| + |z2|)²
所以 |z1+z2|<=|z1|+|z2|

其實柯西不等式就是二邊和大於等於第三邊的延伸公式
柯西不等式 (a1b1+a2b2+...)² <= (a1²+a2²+...)(b1²+b2²+...)
兩邊開根號，因為右式恆大於等於0，所以 (a1b1+a2b2+...) <= √(a1²+a2²+...) * √(b1²+b2²+...)
這是什麼，這是有兩個點，一個是 A(a1, a2, ...)，一個是B(b1 ,b2, ...) (多維空間)
AB的內積 <= A邊長 * B邊長
兩邊 *2，再同時加上|A|²+|B|²
就變成 |A+B|² <= |A| + |B|

不喜歡用柯西証明的原因，因為我覺得這是本末倒置
兩邊和大於等於第三邊，用柯西或是用三角函數去証明，不是在繞遠路嗎 ?

39475494

這樣說好了
你會用畢式定理，去証明直角三角形中斜邊最長嗎 ?
↑ 如果考出來，我會想問出題老師，你的眼睛還好吧 @_@
你在看到「直角三角形中斜邊最長」的時候，會去想畢式定理嗎 ?
更誇張的話，你會用sin² + cos² 去証明畢式定理嗎 ?

46733194

可以用科西不等式證明
我查了柯西不等式的定義域
是定義在複數之下的

這時又產生了一個問題
必須先證明過柯西不等式
才能拿進來用

我還是得強調一點
畫圖不代表證明
圖可以輔助思考邏輯
但是不能只畫圖就能證明了

46733194

畫圖為什麼不能代表証明呢 ?
這不是實數而已唷，這畫的是複數平面呀

不然這樣証好了
令 z1 = a+bi , z2 = c+di
|z1|² = a²+b² , |z2|² = c²+d²
|z1+z2|² = (a+c)²+(b+d)² = a²+2ac+c² + b²+2bd+d²
= ...
39475494 發表於 2014-10-17 05:33

已下附上跟同學討論出的結論



其中 bar(a+bi)=a-bi  ,   Re(a+bi)=a
|z1+z2|^2=(z1+z2)(bar(z1+z2))=(z1+z2)(bar(z1)+bar(z2))
=z1*bar(z1)+z2*bar(z2)+z1*bar(z2)+z2*bar(z1)
=|z1|^2+|z2|^2+2Re(z1*bar(z2))

then
2Re(z1*bar(z2))≦2|z1*bar(z2)|≦2|z1|*|bar(z2)|

|z1+z2|^2≦|z1|^2+|z2|^2+2Re(z1*bar(z2))≦|z1|^2+|z2|^2+2|z1|*|bar(z2)|=(|z1|+|z2|)^2

|z1+z2|^2≦(|z1|+|z2|)^2

|z1+z2|≦|z1|+|z2|

25629116

話說今天段考老師上面提是寫：「運用三角不等式」

BUT...三角不等式到底是.....?