[【學科】] 【物理】位能

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2017-5-2 00:25

範例4(3)

∵損失動能
∴末狀態力學能E=E'-(Ek'/2)
= -mgR/4 - (1/2)(-U'/2)
= -mgR/4 - (1/2)(mgR/4)
= -(3/8)mgR
又E=Ek+U=U/2 *位能U:動能Ek:力學能E=-2:1:-1
故-(3/8)mgR=(1/2)mgr'
-(3/4)R=r'

這邊哪邊有算錯
r'不可能負的

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地球半徑 R ，重力加速度 g
質量 m 的人造衛星，打到空中 R (離地心 2R)的地方

位能 mgh 這是地表附近的情況
這種距離以地球半徑來變化的情況下
F 不是固定值
你可能要先知道，位能是怎麼變的
假設距離地心 x
F = GMm/x²
位能 = ∫ Fds = ∫ GMm/x² dx = -GMm/x + c

距離地球 x 處的物體，將該物移到無限遠的地方
需作功 = ∫ (x到∞) Fds = 0 - (-GMm/x) = GMm/x
所以，假設無限遠處的位能 0
作功 = 物體得到的位能 = ∞處的位能 - x處的位能
距離地球 x 的物體，位能 = - GMm/x

萬有引力是相吸的，所以無限遠處的位能是最大的，
若令無限遠處的位能為 0 ，那有限遠的地方位能為負是正確的
再代入邊界條件，地表附近的 F = mg = GMm/R²
GMm = mgR²
距離地球 x 的物體，位能 = - mgR²/x
所以 x=2R 處，位能 = -mgR/2

再來，衛星不掉，是因為 F = 向心力 = mV²/x
F = GMm/x² = mV²/x
動能 = (1/2)mV² = (1/2)GMm/x = (1/2)mgR²/x
所以 x=2R 處，動能 = mgR/4
2R處的力學能 = -mgR/2 + mgR/4 = -mgR/4
動能變一半以後，總能量(力學能) = -mgR/2 + mgR/4/2 = -3mgR/8
好，到這都沒錯，可是你下面寫的，我就都看不懂了

力學能 = - mgR²/x + (1/2)mgR²/x = -(1/2)mgR²/x
當 x = r' 時 ，力學能 = -3mgR/8 =  -(1/2)mgR²/r'
r' = 4R/3，這樣就好了呀

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位能，無限遠處設為 0 時，所有的位能都是負的
所以力學能為負的，一點也不奇怪

我不知道你卡在哪邊
你所有的列式像公式一樣，突然就出現了，我不知道你懂不懂
公式一定可以背，但背後的觀念也要有。
公式都有使用的情境和時機，這點你要掌握住

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地球半徑 R ，重力加速度 g
質量 m 的人造衛星，打到空中 R (離地心 2R)的地方

位能 mgh 這是地表附近的情 ...
39475494 發表於 2017-5-2 16:52

所以說
不管衛星在2R
還是在r'
他的力學能都是一樣的?

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所以說
不管衛星在2R
還是在r'
他的力學能都是一樣的?
40033444 發表於 2017-5-2 18:56

這是你要思考的問題呀
你想一遍比我跟你講三遍有用

力學能什麼時候守恆 ?

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無非保守力做功

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這是你要思考的問題呀
你想一遍比我跟你講三遍有用

力學能什麼時候守恆 ? ...
39475494 發表於 2017-5-2 19:03

有吧
因為只受重力
沒有別的力

39475494

對呀，其實這些可以思考的
A : 一開始 2R 處(衛星繞地球平衡)
B : 2R 處，動能損失一半(非平衡，會掉下來)
C : r' 處(繞地球平衡)
力學能 A > B = C
A 到 B 有不知名的原因讓它動能掉下來
B 到 C 則是力學能守恆 (沒有外力作功)

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我寫一個東西，看你們感覺如何 ?
令 r = xi + yj + zk
|r| = √(x²+y²+z²)
▽|1/r| = ▽|(x²+y²+z²)^(-1/2)|
= [(-1/2)(x²+y²+z²)^(-3/2)] * (2xi + 2yj + 2zk)
= [(-1/2)(|r|²)^(-3/2)] * (2r)
= -r/|r|³

令φ = GMm/|r|
▽φ = -GMmr/|r|³
= -GMm/|r|² * r/|r|
= F ← 萬有引力向量

▽×F = ▽×(▽φ) = 0
(純量函數梯度，其旋度為 0)

封閉路徑積一圈∫Fds = ∫∫ ▽×F．n dA = 0

封閉路徑取 A 點到 B 點(路徑1)，再從 B 點到 A 點(路徑2)
此時∫Fds 從 A 點積到 B 點(路徑1) + 從 B 點積到 A 點(路徑2) = 0
即 從 A 點積到 B 點(路徑1) = - 從 B 點積到 A 點(路徑2)
= 從 A 點積到 B 點(路徑2反方向積)
這表示 A 點積到 B 點，路徑就算不同，∫Fds 的結果仍一樣

所以，萬有引力(保守力場)，作功與路徑無關(只和起點終點的位置有關)

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換句話說
上面證明了
只要A走到B所做的功 + B走回A所作的功 = 0
符合時 就叫他是一個保守力的情況

同理
今天有一個粗糙斜面
從頂點滑下時 受到一個下滑力-摩擦力
上推到頂點時 要抵抗下滑力+摩擦力
雖然距離一樣 但兩個合力不一樣 這兩個功相加也不會=0
所以摩擦力不是保守力