[【學科】] 【數學】review-多項式函數

40033444

第5行那邊
他的除式到底是 (x+1)(x²+x+1)
還是 (x²+x+1)

第3行到第4行那裡
可不可以同除x+1
變成f(x)=(x²+x+1)(q(x)/(x+1))+(5x+3)/(x+1)

26867711

1." 第5行那邊
他的除式到底是 (x+1)(x²+x+1)
還是 (x²+x+1) "

ans:都可以  但把除式看成(x²+x+1)  商式看成(x+1)q'(x)對你解題才有幫助

2." 第3行到第4行那裡
可不可以同除x+1
變成f(x)=(x²+x+1)(q(x)/(x+1))+(5x+3)/(x+1)"

ans:只要(x+1)不等於0  等式兩邊當然可以同除以(x+1)

不過f(x)=(x²+x+1)(q(x)/(x+1))+(5x+3)/(x+1)就不是多項式了  對你解題沒幫助

你應該利用第五條式子  把除式看成(x²+x+1)  再把同為2次方的餘式除掉降次方

得到[bx+(b-a)]來跟(5x+3)比對

40033444

1." 第5行那邊
他的除式到底是 (x+1)(x²+x+1)
還是 (x²+x+1) "

ans:都可以  但把除式看成(x²+x+1)  商 ...
26867711 發表於 2017-7-22 08:09

謝搂^^
餘式就是直接 (x+1)(ax+b) ←2次
跟除式一樣
還要除一次齁

40033444

我想繼續問另外兩個問題
1. x²-3x+2=0 有兩根 α,β , 求此兩根(α,β)=?
2. x³-6x²+11x-6=0 有三根 α,β,γ , 求此三根(α,β,γ)=?

1.
令ax²+bx+c=0 解為α,β
同乘1/a得x²+(b/a)x+(c/a)=0
∵有解α,β
∴(x-α)(x-β)=0
x²-βx-αx+αβ=0
x²-(α+β)x+αβ=0
比較得α+β=-b/a , αβ=c/a

α+β=3 →(1) , αβ=2
又(α-β)²=(α+β)²-4αβ
這時b²-4ac=9-8=1>0
所以確定(α-β)²≧0
故(α-β)²=9-8=1
α-β=1 → (2) or α-β=-1 →(3)
(1)+(2)得2α=4, α=2 代入(1)得β=1
(1)+(3)得2α=2, α=1 代入(1)得β=2

2.同樣地
令ax³+bx²+cx+d=0 解為α,β,γ
同乘1/a得x³+(b/a)x²+(c/a)x+(d/a)=0
∵有解α,β,γ
∴(x-α)(x-β)(x-γ)=0
(x²-βx-αx+αβ)(x-γ)=0
(x³-βx²-αx²+αβx)+(-γx²+βγx+αγx-αβγ)=0
x³-βx²-αx²-γx²+αβx+βγx+αγx-αβγ=0
x³-(α+β+γ)x²+(αβ+βγ+γα)x-αβγ=0
比較得α+β+γ=-b/a , αβ+βγ+γα=c/a , αβγ=-d/a

α+β+γ=6
αβ+βγ+γα=11
αβγ=6

這3個方程式有沒有方法解出來
後來我發現這邊有點卡到
明明只有3個未知數

22169751

建議直接用湊的

26867711

1."  令ax²+bx+c=0 解為α,β
同乘1/a得x²+(b/a)x+(c/a)=0
∵有解α,β
∴(x-α)(x-β)=0
x²-βx-αx+αβ=0
x²-(α+β)x+αβ=0
比較得α+β=-b/a , αβ=c/a "
對 這是好用的"根與係數關係"

" α+β=3 →(1) , αβ=2
又(α-β)²=(α+β)²-4αβ
故(α-β)²=9-8=1
α-β=1 → (2) "  這有問題

" 這時b²-4ac=9-8=1>0
所以確定(α-β)²≧0 "  這兩列多餘

" 故(α-β)²=9-8=1
α-β=1 → (2) "  這裡有誤α-β=+-1  (α,β)=(1,2)或(2,1)

但一般會十字交乘來因式分解  x²-3x+2=(x-1)(x-2)=0  x=1或2

2.x³-6x²+11x-6=0 有三根 α,β,γ , 求此三根(α,β,γ)=?

這題目如果有有理數根  必定為+-1,2,3,6......牛頓法

x=1代入  合的話  另兩根可以用x³-6x²+11x-6=(x-1)(x²-5x+6)=0  看出 2,3

40033444

建議直接用湊的
22169751 發表於 2017-7-22 18:48

對
不難看出係數和是0
有一次因式(x-1)

不過有些是比較難湊的
也是我想出這個方法的一個原因

當然
比較好湊的話
那這個解法是比較麻煩的方法

40033444

1."  令ax²+bx+c=0 解為α,β
同乘1/a得x²+(b/a)x+(c/a)=0
∵有解α,β
∴(x-α)(x-β)=0
x²-βx-αx+ ...
26867711 發表於 2017-7-22 20:23

" 這時b²-4ac=9-8=1>0
所以確定(α-β)²≧0 "  這兩列多餘

如果他的根有虛數單位i呢..
α=a+bi
β=a-bi
α-β的i好像消不掉

" 故(α-β)²=9-8=1
α-β=1 → (2) "  這裡有誤α-β=+-1  (α,β)=(1,2)或(2,1)

這邊我解太快
沒檢查 sorry

41077703

我想繼續問另外兩個問題
1. x²-3x+2=0 有兩根 α,β , 求此兩根(α,β)=?
2. x³-6x²+11x-6=0 有三根 α, ...
40033444 發表於 2017-7-22 10:29

為甚麼第一題不用看的??
要用推的還列方程太慢了

40033444

為甚麼第一題不用看的??
要用推的還列方程太慢了
41077703 發表於 2017-7-24 15:27

對 用看的比較好
但我是要討論
"是否可以直接用根與係數來求方程式的根"這件事
上面那些只是為了方便解出答案才自己列的題目
要是出了一個sin 10度(這當然學測不會考)呢

8x³-6x+1=0 有因式mx-n
mx-n=0 mx=n x=n/m
8為m的因式 ±1 ±2 ±4 ±8
1為n的因式 ±1

但不管x=1, ±1/2, ±1/4, ±1/8
代進去全都不等於0
(也就是 他的α,β,γ通通都不是分數 一定都有根號或i)

對了
我找到了一個資料
我打算在模考後看看能不能解出來α,β,γ