倍數，有個很重要的特性
就是他可以分堆
A 是 C 的倍數， B 也是 C 的倍數
那從 A 中拿走 B (即 A - B) 也會是 C 的倍數
進一步討論的話
A / C ，餘數是 D
B 是 C 的倍數
(A - B) / C，餘數一樣是D
也就是從 A 拿走 B ，不會影響 A 的餘數值
簡言之，你要計算 A 除以 C 的餘數，有一招就是
找個 B，B 是 C 的倍數，讓 A 去扣 B，然後剩的(A-B)去取代A
A/C 的餘數 和 (A-B)/C 的餘數是一樣的 (但 A-B 比 A 小很多，而且這招可以連續用)
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下面寫「化成」，或是「→」，就是指 A → (A-B)這件事
特性是他們 /C 的餘數是一樣的
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10 /3 = 3 ... 1
所以，計算 /3 的餘數時，所有的 10 都可以化成 1
當然，100 = 10 個 10 化成 10 個 1 = 10 再化成 1
所以就得出來 「某數的各位數總和值 / 3 的餘數，等於該數 / 3 的餘數」
當然，餘數 = 0 就是倍數
所以這也包含了「某數的各位數總和值是 3 的倍數，則該數為 3 的倍數」
例如：6144 → 6000 化成 6，100 化成 1，40 化成4，4 還是4
6144 / 3 的餘數 = (6+1+4+4) / 3 的餘數 = 15 / 3 的餘數 = 0
所以 6144 是 3 的倍數
上述分析
1000 → 100(10/3的餘數) → 100(1)=100 → 10(10/3 的餘數) → 10(1)=10 → 10/3 的餘數 → 1
所以 1000 不斷去扣 3 的倍數，最後會變 1
即是在討論 /3的餘數上，1000，可以當成 1 去看
(其實直接想 1000 - 999 = 1 ，999是 3 的倍數也行
但我想表達這是循環的，不止是1000，就算1000000000 也是 → 1)
所以 6000 當成6，並不影響計算 /3 的餘數
同理
100 化成 1，40 化成4，這些的道理是一樣的
所以 6144 → 6+144 → 6+1+44 → 6+1+4+4 = 15
6144 /3 的餘數 和 15 /3 的餘數是一樣的
當然 15 也可以化成 1+5 = 6 ，但我想大家都有能力判斷 15 / 3，化成 6/3 沒變容易
(但有些數字再化是有好處的)
上面看的懂的話，就恭喜了，這邊的思維完整了
下面就飛車了
9的倍數： 10 / 9 = 1 ... 1
和 3 一樣，10, 100, 1000, 10000 ... 都化成 1
即在「計算餘數」這件事上，「各位數總和」可以「取代 該數」
當然，其中之一的功能就是判斷是不是 9 的倍數，就算各位數總和值是不是 9 的倍數
11 的話，其實道理一樣
不過差一點的是 10 / 11 的餘數 .. 是 10 (可以當成 -1 去理解)
100 / 11 的餘數是 1
那 1000 呢? 1000 → 10 個 100 → 10 (1) = 10 → -1
那 10000 呢? 1000 → 100 個 100 → 100 (1) = 100 → 1
這循環看出來了吧 ?
所以才會有
該數 /11的餘數 = 該數的[(個位 + 百位+ 萬位+ ....) - (十位 + 千位 + 十萬位 + ....)]/11的餘數
7,13 用這降法不會簡化，所以沒有快速法
10 / 7 = 1 ... 3，3 很難用
100/7 = 14...2，2 也不好用
比方 158 / 7 = 22 ... 4
1*100+5*10+8 → 1*2 + 5*3 + 8 = 2+15+8 = 25
25/7 = 3 ... 4 一樣可以得到餘數 4 ，但不會比較快呀
3,9,11 好用是因數餘數有 1
再來， 除以 2^n 也一樣
先拿 2 來看
10/2 = 5 ... 0
所以 10 → 0 ，這表示十位數以上的位數，直接清掉
同理 100/4 = 25 ... 0，1000/8 = 125 ... 0
可以反向思考一下
10 包含了一個 2 的因數
100 = 10² 包含了二個 2 的因數
....
要考慮 2^n 次方，就可以將 10^n 以上的位數不看
(因為10^n 是 2^n 的倍數)
也就是說12342 / 4 的餘數 = 42 / 4 的餘數 (餘數 = 2)
12300 不用看的 (因為 100 是 4 的倍數)
這全部都是最上面那個道理的實際應用
5 也是， 10 / 5 = 2 ... 0
所以 十位數以上就不用看了，看個位數就行了
上面這些不只是用在倍數，用在算餘數也行唷 ...
比方說1234567 / 11 餘多少 ?
7-6+5-4+3-2+1 = 4 ，4/11 = 0 餘 4，就 4 囉 |
