【數學】遞回式求一般項

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數列a1=4 且滿足2a(n)+a(n-1)-3=0,n>=2 求此數列的一般項............

標準的難題阿阿阿阿阿...........

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3(-1/2)^(n-1)+1
需要詳解的話再跟我說
我今天來不及放

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數列a1=4 且滿足2a(n)+a(n-1)-3=0,n>=2 求此數列的一般項............

標準的難題阿阿阿阿阿...........
40440553 發表於 2015-2-24 11:02

這種遞迴式，就要先把他變成另一個等比數列
因為等比數列熟(好算)，而且它必可以轉化成功
就是變成 [a(n)+q] = p[a(n-1)+q]
2a(n)+a(n-1)-3=0 → [a(n)-1]=(-1/2)[a(n-1)-1]
你可以把 a(n)-1 當成一個新的數列
[a(n)-1]=(-1/2)[a(n-1)-1]  可以看出這是個等比數列
令 b(n) = a(n)-1
b(n) = (-1/2)b(n-1)
公比是 -1/2 ，首項 b(1) = a(1)-1 = 4-1 = 3
b(n) 有兩頭，一頭是用b(1) 透過等比來算，另一頭是用 a(n)
第 n 項，b(n) = b(1)*r^(n-1) = 3*(-1/2)^(n-1)
又 b(n) = a(n)-1
可得a(n) = 3*(-1/2)^(n-1) + 1

我說明一下
a(n) 不是等比數列，直接算並不好算
但它的關係必可以做出一個等比數列 b(n) 來

b(n) 的作法是將 2a(n)+a(n-1)-3=0 化成 [a(n)+q] = p[a(n-1)+q] 的形式
也就是解出 p , q，這就轉成等比的關係式了，其中 b(n) = a(n)+q
b(n) 就是等比數列了，也就能列出 b(n) = b(1) * r^(n-1)

題目問的是 a(n)，所以 a(n) = b(n)-q 去得到 a(n)

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解到這裡可得an-1=-1/2(an-1-1)
  a1=4
  a2-1=-1/2(a1-1)
  a3-1=-1/2(a2-1)
                         .
                         .
                         .
  an-1=-1/2(an-1-1)
*)
a1(an-1)=4(a1-1)*(-1/2)^(n-1)
4(an-1)=4*3(-1/2)^(n-1)
an-1=3(-1/2)^(n-1)
速解:
分析:an-B=A*(-1/2)^(n-1)
a1=A+B=4
a2=(-1/2)A+B=-1/2
解得A=3 B=1
an=3*(-1/2)^(n-1)+1

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這種遞迴式，就要先把他變成另一個等比數列
因為等比數列熟(好算)，而且它必可以轉化成功
就是變成 [a(n)+q] = p[a(n-1)+q]
2a(n)+a(n-1)-3=0 → [a(n)-1]=(-1/2)[a(n-1)-1]
你可以把 a(n)-1 當成一個新的數列
[a( ...
39475494 發表於 2015-2-25 04:10

2a(n)+a(n-1)-3=0 → [a(n)-1]=(-1/2)[a(n-1)-1] 這是2吧?

還有..要怎麼判斷哪些時候要化成[a(n)+q] = p[a(n-1)+q] 的形式,因為不是所有的東西都可以化成等比數列..
看到這種題目時,我也沒想過要化成這樣

22169751

2a(n)+a(n-1)-3=0 → [a(n)-1]=(-1/2)[a(n-1)-1] 這是2吧?

是1沒錯
a1=4
a2-1=(-1/2)[a1-1]
a3-1=(-1/2)[a2-1]
    .
    .
    .
an-1=(-1/2)[an-1-1]
*)
這樣才能消掉
基本上
大部分要你求an的遞回型都要化成這種型態

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是1沒錯
a1=4
a2-1=(-1/2)[a1-1]
a3-1=(-1/2)[a2-1]
    .
    .
    .
an-1=(-1/2)[an-1-1]
*)
這樣才能消掉
基本上
大部分要你求an的遞回型都要化成這種型態
22169751 發表於 2015-2-26 14:19

喔喔@@ 那第一個問題沒事了((剛剛我算錯=口=

39475494

2a(n)+a(n-1)-3=0 → [a(n)-1]=(-1/2)[a(n-1)-1] 這是2吧?

還有..要怎麼判斷哪些時候要化成[a(n)+q] = p[a(n-1)+q] 的形式,因為不是所有的東西都可以化成等比數列..
看到這種題目時,我也沒想過要化成這樣 ...
40440553 發表於 2015-2-26 14:08

1. 是 1 沒錯
2. 有講過呀
?a(n) + ?a(n-1) + ? = 0 必然可化成 [a(n)+q] = p[a(n-1)+q]
嚴格說起來，有一種情況化不了
a(n) - a(n-1) = k ≠ 0 ← 1:1 時
這種的話，本身用等差算就好了

40440553

?a(n) + ?a(n-1) + ? = 0 必然可化成 [a(n)+q] = p[a(n-1)+q]
我就是不懂為何..

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?a(n) + ?a(n-1) + ? = 0 必然可化成 [a(n)+q] = p[a(n-1)+q]
我就是不懂為何..
40440553 發表於 2015-2-27 05:32

把 a(n) 當成 y , a(n-1) 當成 x
ax + by + c = 0 這個可以當成一條線方程式
和 (y-d) = m (x-d) 這個也可以當成一條經過 (d, d)，且斜率為 m 的線方程式
下面的就要靠你的概念去想像了
現在要討論的是，任意的 a, b, c 是否可以對應到一組 (m, d)，然後方程式是同一條線 ....
不管是 ax + by + c = 0 還是 (y-d) = m (x-e)  都是平面上可任意的線方程式
所以 ax + by + c = 0 → (y-d) = m (x-e) 是必然可以化的，而且(d,e) 有無限多組 (線上任意一點)
可是上述並不是要化成 (y-d) = m (x-e) 而是 (y-d) = m (x-d)
(d, e) 是任意的，而 (d,  d) 卻只能在 x = y 上任意
所以，唯一的條件就是，要保証有個點 (d, d) 在 ax + by + c = 0 線上
也就是說， a≠ -b 且 c≠0 ，這就是條件 ...
所以，除了 x - y = k ≠ 0 這種情況以外，其他的 都必可以化成

當然，你可以用代數式去証明這些，甚至弄個 m = ..... , d = ....... 的公式出來也沒啥難的
但學數學不要去記這些，情境才是重要的，去想像上面寫的內容才是重要的