【數學】高中數學

本帖最後由 45959595 於 2015-9-29 13:48 編輯

1.設f(x)=

x	x+1	2x^2+3x+3
x-1	3x	2x^2+7x
2x^2	5x-2	12x^2+10x-12

(行列式)
(1)將f(x)表示成多項式
(2)求f(x)所有實根

(OK)2. x^2+y^2+z^2-2ax-10y-18z-a^2-16a+65=0是空間中一個半徑為9的球面，a為正實數
(1)求a
(2)球此球面與平面x+4y+8z-13=0的交點座標

3.一隻螞蟻從一個正八面體上方的頂點出發，沿著正八面體的稜邊爬行。在每個頂點她會從四條稜邊中隨機選擇一條向另一個頂點前進，直到抵達下方的頂點為止。
(1)螞蟻只爬行兩條稜邊就抵達下方的頂點的機率為？
(2)螞蟻爬行三條稜邊到達下方頂點的機率為？
(3)螞蟻自上方頂點到達下方頂點的經過稜邊數的期望值為何？

(OK)4.ＡＢＣ為三角形的三內角，試證
(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2 <=9/4

在討論區中遊蕩~

淘米冒險者

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43607215發表於 2015-9-28 20:08 | 只看該作者

好複雜

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開拓者

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35664048發表於 2015-9-28 22:30 | 只看該作者

本帖最後由 35664048 於 2015-9-28 15:28 編輯

第4題
(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2
=(1-cos2A)/2+(1-cos2B)/2+(1-cos2C)/2
=3/2-1/2(cos2A+cos2B+cos2C)
=3/2-1/2(2cos(A+B)cos(A-B)+2(cosC)^2-1)
=2-(cos(A+B)cos(A-B)+(cosC)^2)
=2-(-cos(A-B)cosC+(cosC)^2)
=2-cosC(cosC-cos(A-B))
=2+2cosC[sin (C-A+B)/2*sin (C+A-B)/2]
=2+2cosC[sin (180-2A)/2*sin (180-2B)/2]
=2+2cosC[sin(90-A)*sin(90-B)]
=2+2cosCcosAcosB<=2+2((cosC)^3+(cosA)^3+(cosB)^3)/3<= 9/4

當A=B=C=60 有最大值~
1/2 代入cosC、 cosB、 cosA 得證

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