【數學】金幣與天平的問題

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這本來是某個討論串裡面聊到的
題目是這樣子 ...

金幣有１３枚，外觀上看起來都一樣
其中１２枚是純金的（稱為「真幣」)
另外的那１枚成分卻不是純金的（稱為「假幣」或「偽幣」均可)

不過，這１２枚「真幣」重量都一樣
而「假幣」的重量和「真幣」卻有點不同，但不知道誰比較重

另外有天平一座
天平的特性 – 左右兩邊放上金幣，重的一邊會下沉，輕的一邊會上抬，兩邊一樣重，則保持平衡
現在，規定只能使用天平三次
請問，要如何操作天平和金幣，才能保証在三次內（包含三次）找出那枚「假幣」？

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布袋戲不見，應該沒什麼人會來解～

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將錢幣分成三等分（四個、四個、五個），然後拿其中兩份到天秤上去秤。
此時有兩個狀況：一、天秤平衡。二、天秤不平衡。（廢話）
而且還剩下兩次測量的機會。

狀況一：
可以知道剩餘的第三等份含有偽幣。而其他八枚錢幣是真的。
第三份假設是1 2 3 4 5
從八枚真幣與第三份中，各拿3枚(第3份)與1枚(前兩份，設為？)來測量。（第二次機會）
1 2 和 3 ？ 量天秤，如果相同重量，４ 和 ５ 其中一個是假的，
４ 和 ？ 量天秤，重量不同４假， 相同, ５ 假

狀況二：
可以知道這兩份裡面含有偽幣。但在哪一份並不知道。
而其他四枚錢幣是真的。
為方便解釋，將這三份取代號為A、B、C。（原本測量的為A、B，C則全為真幣）
此時，從A中拿三枚錢幣到B，B三枚錢幣到C，C三枚錢幣到A，並記住移動的錢幣是哪些。
將A、B在測量一次（第二次機會）

此時會出現三種狀況：
狀況1：
兩者相等，則表示此時A、B全為真幣，從B移動到C的三枚錢幣含偽幣；並且由第一次測量時，A全為真幣，而B含偽幣，可由此得知偽幣比真幣重或輕。
狀況2：
兩者不相等，並且結果與第一次測量時不同（例如第一次是A比B重，第二次變成B比A重。），則表示從A移動到B的三枚錢幣含有偽幣；並且可以知道偽幣比真幣重或輕。
狀況3：
兩者不相等，並且結果與第一次測量時相同，則表示原本在A與B沒有移動的錢幣，其中一枚是偽幣。

狀況1與狀況2
已得知偽幣比真幣重或輕，從含偽幣的三枚金幣中任拿兩枚來測量。（第三次機會）
若兩者不相等，則由輕重可判斷哪一枚是偽幣。
若兩者相等，則餘下的那枚金幣是偽幣。

狀況3
已將不確定的錢幣篩選到只剩兩枚，其他十一枚錢幣為真。
從那兩枚錢幣中拿一枚與真幣測量。
若兩者不相等，則這次拿取的是偽幣。
若兩者相等，則餘下的那枚金幣是偽幣。

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寫的不錯呀 (雖然有點擔心只有我看的懂)

1 2 和 3 ？ 量天秤，如果相同重量，４ 和 ５ 其中一個是假的，
４ 和 ？ 量天秤，重量不同４假， 相同, ５ 假
如果不同呢?

另外， 狀況二「而其他四枚錢幣是真的。 」，應該是五枚 (小錯字，不影響結果)

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原本想說刪掉，在默默的給他想一下，然後你就回覆了= =

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那我就當沒看到好了 ~
過幾天我會把我的想法 po 上來
不過看不看的懂我不敢說 ...

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我又有新想法了！
如果不等重，就把１　２拿來量，
如果當初不等重的结果是１　２較輕，較輕的就是偽幣，
如果當初不等重的结果是１　２較重，較重的就是偽幣，
如果１　２等重，３就是偽幣～

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這在康軒版數學1下 第5章的延伸學習有類似的題目(不知道有沒有改掉)

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我又有新想法了！
如果不等重，就把１　２拿來量，
如果當初不等重的结果是１　２較輕，較輕的就是偽幣，
如果當初不等重的结果是１　２較重，較重的就是偽幣，
如果１　２等重，３就是偽幣～ ...
22507167 發表於 2012-8-12 05:03

不錯呀
這樣子就完整了
你可以開始思考怎麼去完整的架構這理論
然後研究一些大方向
比方，14個金幣找出一個假幣行不行? 為什麼?
天平四次可以做到什麼程度
給你一個方向：
判斷幣的真假，要看該幣之前輕重和目前的輕重，也就是該幣與天平的「記錄」，這是重點